数据结构---二叉树

目录

• 二叉树的性质和存储结构
  • • 二叉树的性质
    • 二叉树的存储结构
      • 顺序存储
      • 链式存储
    • 遍历二叉树
      • 中序遍历算法
      • 中序遍历的非递归算法
    • 根据遍历顺序确定二叉树
      • 先序遍历的顺序建立二叉链表
      • 复制二叉树
      • 计算二叉树的深度
      • 统计二叉树中结点的个数

二叉树的性质和存储结构

二叉树的性质

1.在二叉树的第i层上至多有2^i-1个结点（i>=1)，最少有1个结点

2.深度为K的二叉树至多有 (2^k)-1 个结点 (k>=1)，最少有k个结点

• 将所有层的最大结点数相加

3.对任何一棵二叉树T, 如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2,则n0=n2+1

• 结点总数n=n1+n2+n0
• 除了根结点，其余结点都有和双亲的连接（数目用B表示）可得n=B+1
• 总连接数B=n1+2*n2，可得n=n1+2 *n2+1
• 综上可得n0=n2+1

满二叉树：深度为 K且含有（2^k）-1个结点的二叉树

• 除了根结点和叶子结点外所有结点都有左右两个儿子
• 每一层上的结点数都是最大结点数

完全二叉树：深度为K的， 有n个结点的二叉树， 当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时， 称之为完全二叉树。

这里的对应相当于标号和结点的值都对应

• 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现（上一层出现了叶子，那么根据完全二叉树的定义不会出现下一层）
• 对任一结点， 若其右分支下的子孙的最大层次为l, 则其左分支下的子孙的最大层次必为 l 或 l+ 1。

（有右子树一定有对应层次的左子树，有左子树不一定有对应的右子树）

4.--结点和深度的关系

5.

---双亲和左右孩子编号的关系

二叉树的存储结构

顺序存储

#define MAXTSIZE 100//二叉树的最大结点数
typedef TElemType SqBiTree [MAXTSIZE];//定义类型名为SqBiTree来表示二叉树类型，每一个结点类型为TElemType，然后最大结点数为MAXSIZE
SqBiTree bt;

完全二叉树---从根起按层序存储即可，依次自上而下、自左至右存储结点元素，即将完全二叉树上编号为i 的结点元素存储在如 上定义的一维数组中下标为i-1的分量中

一般二叉树---将其每个结点与完全二叉树上的结点相对照，存储在一维数组的相应分量中，不存在该节点编号还是要编的，只是在对应的数组分量中存0

链式存储

typedef struct BiTNode{
TElemType data; //数据域
struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针，还有可以有一个指向双亲结点的指针
} BiTNode,*BiTree;

对于完全二叉树，用顺序存储比较方便，但是很多一般的二叉树它并不是所有结点都有左右孩子，这就导致用数组来存储时有效存储空间密度很低，所以对于这种采用链式存储

遍历二叉树

按某条搜索路径巡访树中每个结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次

遍历的路径相当于将二叉树上所有结点都排成一个线性队列

二叉树的基本单元是根结点、左子树和右子树。因此，若能依次遍历（递归）这三部分，便是遍历了整个二叉树。按照先左结点后右结点，有三种遍历情况

若二叉树不为空

先序：访问根结点--->先序遍历左子树--->先序遍历右子树

中序：中序遍历左子树--->访问根结点--->中序遍历右子树

后序：后序遍历左子树--->后序遍历右子树--->访问根结点

中序遍历算法

Status InOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T){
		InOrderTraverse(T->lchild);
		cout<<T->data;
		InOrderTraverse(T->rchild);
	}
    return OK;
}

三种遍历算法区别就在cout<data;语句的位置，这里左右子树仍是二叉树依旧使用中序遍历，就用到了函数的递归

中序遍历的非递归算法

void InOrderTraverse(Stack* &S, BiTreeNode* &T)//中序遍历二叉树的非递归算法
{
    InitStack(S);//初始化栈
    BiTreeNode* p=T;//指针p指向根结点
    BiTreeNode* q;//申请一个结点q，来存放栈顶弹出的元素
    while(p||!StackEmpty(S))
    {
        if(p）//当p=NULL且栈空时, 循环结束
        {
            
            Push(S,p);//根指针进栈
            p=p->LChild//遍历左子树
        }
        else
        { 
            q=Pop(S);//出栈元素指针保存在q中
            cout<<q->data;//访问根结点
            cout<<"  ";
            p=q->RChild;//遍历右子树
        }
    }
}

若结点数为n，每个结点被访问一次，时间复杂度为O(n),栈的最大容量为树的深度，最坏的情况（一个层次一个结点）空间复杂度也为O(n)

根据遍历顺序确定二叉树

后序序列和中序序列均能唯一地确定一棵二叉树

---通过后序序列可以确定根结点，根据中序序列可以确定左右子树

二叉树的先序序列和中序序列也可唯一地确定一棵二叉树

---通过先序序列可以确定根结点，根据中序序列可以确定左右子树

---

先序遍历的顺序建立二叉链表

void CreateBiTree(BiTree &T)
{
cin>>ch; //输入结点的值
if(ch== '#') T=NULL;//以#结束
else
{
T=new BiTNode; //生成根结点
T-> data=ch; //把ch赋给根结点的数据域
CreateBiTree (T-> lchild); //递归构建左子树
CreateBiTree (T-> rchild);//递归构建右子树
}
}

复制二叉树

void Copy(BiTree T,BiTree &NewT)//复制二叉树T，将复制后的NewT返回
{
if(T==NULL) //若T为空树，复制空树
{
NewT=NULL; 
return;
}
else//T不为空树
{
NewT=new BiTNode; //复制根结点
NewT-> data=T->data; 
Copy (T-> lchild, NewT-> lchild); //递归复制左子树
Copy (T-> rchild, NewT-> rchild);//递归复制右子树
}
}

计算二叉树的深度

int Depth(BiTree T)
{
if(T==NULL) return 0;
else
{
m=Depth {T->lchild); //递归计算左子树的深度
n=Depth {T->rchild) ; //递归计算右子树的深度
if{m>n) return{m+l);//整个的深度还要加上根节点所占的一层
else return(n+l);
}
}

统计二叉树中结点的个数

int NodeCount(BiTree T)
{
if (T==NULL) return O; //如果是空树，则结点个数为0, 递归结束
else return NodeCount (T->lchild) +Node Count (T->rchild) + 1;//否则返回左右子树的结点之和再加上根节点
}