CDQ 分治学习笔记

CDQ 分治的流程大致是将对于区间 \([l,r]\) 中点 \(x,y\) 的计数分为两类处理：

1. \(x,y\) 均位于 \([l,mid]\) 或 \([mid+1,r]\) 中，这样的点对贡献可以递归解决。

2. \(x,y\) 分别位于 \([l,mid]\) 和 \([mid+1,r]\) 中，这样的点对通过一些操作来统计贡献。

显然这两类贡献之和即为 \([l,r]\) 的贡献。

三维偏序

算法流程

首先看一下模板题的削弱版：

有 $ n $ 个元素，第 $ i $ 个元素有 $ a_i,b_i,c_i $ 三个属性，满足所有 \(a_i\) 互不相同，所有 \(b_i\) 互不相同，所有 \(c_i\) 互不相同。设 $ f(i) $ 表示满足 $ a_j < a_i $ 且 $ b_j < b_i $ 且 $ c_j < c_i $ 且 $ j \ne i $ 的 \(j\) 的数量，对于 \(i \in [1,n]\)，求出 \(f(i)\)。

下面以此题为例讲解 CDQ 分治的流程。

第一步，对于整个数组以 \(a_i\) 从小到大排序。

第二步，进行 CDQ 分治，递归处理 \(1\) 类贡献，下面计算 \(2\) 类贡献：设当前区间为 \([l,r]\)，中点为 \(mid\)。由于上一步已经对 \(a\) 一维排序过了，这意味着对于区间內部有且仅有 \(i \in [l,mid]\) 会对 \(j \in [mid+1,r]\) 的\(f\) 值产生贡献。再分别将 \([l,mid]\) 和 \([mid+1,r]\) 两个区间按照 \(b_i\) 为关键字从小到大排序，这样对于 \(j \in [mid+1,r]\)，能对其产生贡献的 \(i\) 一定是 \([l,mid]\) 的一个前缀，将这个前缀的 \(c_i\) 插入树状数组即可查询满足 \(c_j\) 限制的点的个数。显然若按照 \(j\) 的大小从小到大处理，区间内每个 \(i\) 只需要插入一次树状数组。

复杂度分析

设对于长度为 \(n\) 的区间进行 CDQ 分治的时间复杂度为 \(T(n)\)，那么有递推式：

\[T(n) = 2T(\dfrac{n}{2}) + O(n \log n) \]

根据 \(\text{Master}\) 定理，对于形如 \(T(n) = a T(\dfrac{n}{b}) + f(n)\) 的时间复杂度递推式，设 \(c=\log_b a\)，若存在非负数 \(k\) 满足 \(f(n) = n^c \cdot \log^{k}n\)，则 \(T(n) = n^c \cdot \log^{k+1}n\)

观察上面的式子，\(a=2,b=2,c=1,k=1\) 时成立，那么 \(T(n)=n \log^2 n\)，总复杂度就是 \(O(n \log^2 n)\)。

P3810 【模板】三维偏序（陌上花开）

与上面一道题的区别在于存在了相等权值。对于两个数对若完全一样，那么就离散化为 \(1\) 个，统计时直接加上个数而不是加 \(1\)，在排序时要按 \(a\) 为第一关键字，\(b\) 为第二关键字，\(c\) 为第三关键字，这样能保证一定是左面对右面有贡献。

P3157 [CQOI2011] 动态逆序对

给每个点打上时间戳 \(tim_i\)，对于每个点，删去他减少的逆序对数目是他与前面的未删去点构成的逆序对数目（即\(tim_j > tim_i , pos_j < pos_i , val_j > val_i\) 的点对数目），以及后面未删去的点和该点构成的逆序对数目（即\(tim_j > tim_i , pos_j > pos_i , val_j < val_i\) 的点对数目），跑两次 CDQ 分别求这两类即可。

P2487 [SDOI2011] 拦截导弹

普通方程：

\[f_i = \max\limits_{j<i,h_i<h_j,v_i<v_j}\left\{f_j+1\right\} \]

观察到转移条件为三维偏序形式，那么 CDQ 一下，用树状数组维护一下最大值就好了。注意这里一定是先计算 \([mid+1,r]\) 的 \(f\) 值再进行 \(CDQ(mid+1,r)\)，这样才能保证计算右区间时左区间的 \(f\) 一定都计算完毕。

CDQ 分治维护斜率优化

P4655 [CEOI2017] Building Bridges

斜率式子很好写，但是会发现本题 \(k\) 与 \(x\) 都是乱序的。考虑使用 CDQ 分治将其变为有序的来转移。

对于区间 \([l,r]\)，显然 \([mid+1,r]\) 的 \(f\) 可以从 \([l,mid]\) 转移而来，但是 \([l,mid]\) 一定不能从 \([mid+1,r]\) 转移，那就直接对于整个 \([l,mid]\) 按照 \(x\) 排序后将所有点插入凸包，对于 \([mid+1,r]\)，按照 \(k\) 值排序后，发现 \(x\) 和 \(k\) 均有序直接使用单调队列转移就行了。同样一定是先计算 \([mid+1,r]\) 的 \(f\) 值再进行 \(CDQ(mid+1,r)\)。