线段树分治学习笔记

线段树分治是一种通过线段树维护时间轴，实现一些可撤销的信息维护问题的手段。

线段树分治是离线算法。

具体地，对于若干个修改与询问，按照时间戳像区间修改一样挂在线段树的节点上，然后遍历整棵线段树，将节点上的操作计入贡献，对于一个时间戳为 \(t\) 的询问，线段树上区间 \([t,t]\) 即为答案，在遍历完一个区间的左右儿子后，再将该节点操作撤销。这样就保证了对于时间 \(t\) 只有时间范围包含 \(t\) 的操作对答案有贡献。

P5787 二分图 /【模板】线段树分治

首先对于二分图的判定，染色显然是不现实的，可以使用扩展域并查集解决，将一个点 \(x\) 拆为 \(x_1\) 和 \(x_2\)，若连边时发现两个点 \(x_1\) 与 \(y_2\) 已经属于同一集合，则说明存在奇环，不是二分图。接下来使用线段树分治，将每条边挂在线段树上，当走到一个线段树上一个区间时，若将该区间上挂着的所有边都加入并查集后出现了奇环，那么说明该区间所有时间答案全部为 \(\text{No}\)。若已经走到叶子节点仍未出现矛盾，则说明该时间答案为 \(\text{Yes}\)。对于并查集的撤销，不进行路径压缩，保留树的形态，用一个栈记录一下最新修改的 \(fa\)，在离开区间时将栈中节点 \(fa_i=i\)，为了保证时间复杂度的正确，使用按秩合并即可。

P3733 [HAOI2017] 八纵八横

同理，将修改看作建立另一条新边，同时删除旧的边，这样就又转化为了每条边有一定存在时限的问题，然后考虑怎样求出答案，参考 [WC2011] 最大XOR和路径，有贡献的边一定位于一个环上，那么就动态维护所有环的异或长度，插入线性基中，用栈记录新产生的环在线性基中是哪一位，最后退出时将该位清零即可。