证明两个奇数的平方和不可能为平方数

我们设两个奇数为 \(x=2a+1,y=2b+1\)。显然有 \(x\bmod 2 =y \bmod 2 =1\)

又因为 \(x^2=(2a+1)^2=4(a^2+a)+1\)，同理可得 \(y^2=(2b+1)^2=4(b^2+b)+1\)

所以 \(x^2 \bmod4 =y^2 \bmod4 =1\)，进一步可得 \((x^2+y^2)\bmod 4 =2\)。

得证。