【施工中】组合常用公式集锦

咕咕咕中

本文不提供所有公式严格证明，包含大量感性理解（）

1.基本公式

【命题 $ 1.0 $】

\[\dbinom{n}{m}=\dbinom{n-1}{m}+\dbinom{n-1}{m-1} \]

从 $ n $ 个物品中取 $ m $ 个分为两种情况：包含一个物品 $ i $ 或不包含 $ i $。包含 $ i $ 时有 $ \binom{n-1}{m-1} $ 种，不包含时则有 $ \binom{n-1}{m} $ 种，所以命题 $ 1.0 $ 成立。

【命题 $ 1.1 $】

\[\dbinom{n}{m}=\dbinom{n}{n-m} \]

举例子：在 $ n $ 个球里随机不放回取 $ m $ 个，容易想到此情况相当于在取剩下的 $ n-m $ 个，所以命题 $ 1.1$ 成立。

【命题 $ 1.2 $】

\[\dbinom{n+1}{r+1}= \sum\limits_{i=1}^n\dbinom{i}{r} \]

【命题 $ 1.3 $】

\[r \dbinom{n}{r}=n \dbinom{n-1}{r-1} \]

还有一种常用形式为：

\[\dbinom{n}{r}=\dfrac{n}{r} \dbinom{n-1}{r-1} \]

还是举一个很好理解的栗子（第一个式子）：有 $ n $ 位同学，从中选出 $ r $ 位同学，再随机选出一位班长。这个操作等价于先在 $ n $ 个人里提前选出那位班长，再选出凑出一个班级所需的剩下 $ r-1 $ 个人。此时就容易看出命题 $ 1.3 $ 成立了。

【命题 $ 1.4 $】

\[\dbinom{n-i}{0}+ \dbinom{n-i}{1} + \dbinom{n-i}{2}+……+\dbinom{n-i}{i} = 2^i \]

没什么好说的，显而易见。

【命题 $ 1.5 $】

共有 $ \binom{n-1}{r-1} $个互异正整数向量( $ x_{1} , x_{2},......,x_{r} $ )满足

\[x_{1}+x_{2}+......+x_{r} =n \]

(对于从 $ 1 $ 到 $ r $ 的所有 $ i $，保证 $ x_{i} >0 $)

很显然的一个插板法，这个方程可以理解为把 $ n $ 个球分成 $ r $ 份，这个的方案数就是在 $ n $ 个球之间的 $ n-1 $ 个缝里头选 $ r-1 $ 个放上隔板的方案数。

【命题 $ 1.6 $】

共有 $ \binom{n+r-1}{r-1} $个互异正整数向量( $ x_{1} , x_{2},......,x_{r} $ )满足

\[x_{1}+x_{2}+......+x_{r} =n \]

(对于从 $ 1 $ 到 $ r $ 的所有 $ i $，保证 $ x_{i} \geq 0 $)

继续插板法，强制每种颜色先选一个额外的球，然后插板，显然这 \(n\) 个球同时存在和不存在不影响结果，但这时就可以按照上面的方法插板了。

【命题$ 1.7$】

\[\dbinom{n+m}{r}=\dbinom{n}{0}\dbinom{m}{r}+\dbinom{n}{1}\dbinom{m}{r-1}+ ...+\dbinom{n}{r}\dbinom{m}{0} \]

例子是理解组合的最好方法。

假设这里有 $ n $ 个男人与 $ m $ 个女人 从中取出 $ r $ 个人，问有多少种可能性。显然，可能性为取 $ 0 $ 男 $ r $ 女的可能性加取 $ 1 $ 男 $ r-1 $ 女的可能性加......一直加到取 $ r $ 男 $ 0 $ 女的可能性。所以，【命题 $ 1.7 $】成立。

【命题 $ 1.8 $】

\[\sum\limits_{j=1}^n\dbinom{n}{j}\dbinom{j}{i}=\dbinom{n}{i}2^{n-i} \]

右边：从 $ n $ 人中选 $ i $ 人组成分会，再从剩余 $ n-i $ 人中选若干人组成委员会。

方案数为：

\[\dbinom{n-i}{0}+ \dbinom{n-i}{1} + \dbinom{n-i}{2}+……+\dbinom{n-i}{i} \]

由【命题 $ 1.4 $】可知，上式等于 $ 2^{n-i} $。

将左边和右边合起来看就可以发现其中关联。