AcWing 199. 余数之和 题解

做了一下午……题解都看不懂，最后自己比比划划弄懂了。

题意：给出 $n,k$，求 $\sum _{i=1}^{n}k\mathrm{mod}i$。

首先取模形式十分不好处理，所以我们可以根据取模运算定义做一个小小的变换：

$$\sum _{i=1}^{n}k\mathrm{mod}i=\sum _{i=1}^{n}k-\lfloor {\displaystyle \frac{k}{i}}\rfloor \cdot i$$

提取出定值 $k$，进一步简化为求

$$nk-\sum _{i=1}^n\lfloor {\displaystyle \frac{k}{i}}\rfloor \cdot i$$

我们发现重点在于求 $\sum _{i=1}^n\lfloor {\displaystyle \frac{k}{i}}\rfloor \cdot i$。

我们可以尝试寻找规律，不难发现 $\lfloor {\displaystyle \frac{k}{i}}\rfloor$ 的值呈块状分布（即结果数组分成若干块，每块中值相等），这种东西还有另一个名字：整除分块。

首先一个块内部的答案显然是好求的，设块起点为 $l$，终点为 $r$，则块的贡献为 $\lfloor {\displaystyle \frac{k}{l}}\rfloor \cdot \sum _{i=l}^{r}i$。

由于第一个块起点已知（$1$），第二个块的起点即为第一个块终点加一，所以我们需要快速根据起点求出一个块的重点。

首先由于块内值都相同，可以设 $x=\lfloor {\displaystyle \frac{k}{l}}\rfloor =\lfloor {\displaystyle \frac{k}{r}}\rfloor$

根据 $x=\lfloor {\displaystyle \frac{k}{r}}\rfloor$ 可变形得 $xr\le k,r\le \lfloor {\displaystyle \frac{k}{x}}\rfloor$，根据 $x=\lfloor {\displaystyle \frac{k}{l}}\rfloor$ 得 $r\le \lfloor {\displaystyle \frac{k}{\lfloor {\displaystyle \frac{k}{l}}\rfloor }}\rfloor$

最后分析一下这么做的时间效率：

当 $i>\sqrt{n}$ 时，$\lfloor {\displaystyle \frac{k}{i}}\rfloor \le \sqrt{n}$ ，也就是说原式只有小于 $\sqrt{k}$ 种取值。

当 $i\le \sqrt{n}$ 时，$i$ 只有小于 $\sqrt{k}$ 种取值，也就是说原式也只有小于 $\sqrt{k}$ 种取值。

所以最多有 $2\sqrt{n}$ 个块，我们对于每个块可以 $o(1)$ 计算，时间可以通过。