浅谈一类多重传递关系的并查集问题

首先解释一下什么叫“多种传递关系”：

普通的并查集只能维护“朋友的朋友是朋友”，而面临“敌人的敌人是朋友”的情况十分乏力，多种传递关系即指“敌人的敌人是朋友”类情况。

我们首先看这样一个问题：

P5937 [CEOI1999] Parity Game

我们考虑将一段区间的奇偶性转化为前缀和形式，设 \(s_i\) 表示第 \(i\) 位的前缀和，则当区间 \([l,r]\) 有奇数个时，\(s_{l-1}\) 与 \(s_r\) 奇偶性不同，有偶数个时相同，这样可以转化为一个可以并查集处理的东西。

但稍加思索我们会发现这里有多种传递关系，不是单纯的在或不在一个集合里：

• \(i\) 与 \(j\) 奇偶性相同，\(j\) 与 \(k\) 奇偶性相同，则\(i\) 与 \(k\) 奇偶性相同。

• \(i\) 与 \(j\) 奇偶性相同，\(j\) 与 \(k\) 奇偶性不同，则\(i\) 与 \(k\) 奇偶性不同。

• \(i\) 与 \(j\) 奇偶性不同，\(j\) 与 \(k\) 奇偶性不同，则\(i\) 与 \(k\) 奇偶性相同。

对于这种多种传递关系问题，有两种方法。

边带权并查集

我们知道，并查集是一个树形结构，所以我们可以将边加上边权，设 \(d_i\) 为第 \(i\) 位与 \(fa_i\) 之间的边权。

对于上面的题，注意到传递关系与异或十分相似，于是有 \(d_i=0\) 时，\(i\) 与 \(fa_i\) 奇偶性相同，\(d_i=1\) 时，\(i\) 与 \(fa_i\) 奇偶性不同（反过来也行）。判断时，判断两点 \(d\) 值异或的结果是否与给出结果对应即可。（只计算两点边权的的原因是并查集缩到最简形态一定是菊花，两个边权相邻成为一条链）。

对应的，\(\operatorname{find}\) 函数也会发生一些改变：

int find(int x){
	if(fa[x]==x) return x;
	int fx=find(fa[x]);
	d[x]^=d[fa[x]];//这里增加了一条维护边权的语句，根据情况更改
	return fa[x]=fx;
}

对于两个点不在一个集合里的情况，我们往往可以通过一些手段知道两个树形结构根之间应该取的边权，仍以这一题为例，由于不在一个即合理所以这条关系默认成立，设合并的两个并查集根为 \(p\)，\(q\)，将 \(p\) 合并到 \(q\)，即有 \(ans=d_x \operatorname{xor} d_y \operatorname{xor} d_p\)，移项得 \(d_p=d_x \operatorname{xor} d_y \operatorname{xor} ans\)，问题解决。

扩展域并查集

我们考虑开两个并查集，分别表示“朋友”与“敌人”关系。

对于关系不确定的两个点，我们尝试带入两个并查集，寻找合法的关系决定他们的状态。

说一下上面那道题的解法：

开两个并查集，分别代表 \(s_x\) 为奇数与 \(s_x\) 为偶数，称为奇数域和偶数域，写为 \(x_o\) 与 \(x_e\)，假设目前处理 \(x\) 与 \(y\) 的关系。

若偶数个，则合并 \(x_o\)，\(y_o\) 与 \(x_e\)，\(y_e\)。

若奇数个，则合并 \(x_o\)，\(y_e\) 与 \(x_e\)，\(y_o\)。

判断合法同理。

核心就是对于多种关系开多个并查集，每个并查集维护一种关系。

个人感觉一般情况下扩展域更好想点,但经过测试还是边带权并查集更快一点(差 4ms)

边带权并查集还可以用来判断一个图是否是二分图。将一个点 \(x\) 拆为 \(x_1\) 和 \(x_2\)，若连边时发现两个点 \(x_1\) 与 \(y_2\) 已经属于同一集合，则说明存在奇环，不是二分图。

更多例题

P2024 [NOI2001] 食物链

方法：扩展域并查集。

一个物种共有三重身份：作为自己（维护同类关系），作为捕食者（捕食关系），作为猎物（被捕食关系），对于每只动物 \(x\) 我们开三个域 \(x_{self},x_{hunt},x_{food}\) 分别对应上文三种关系，接下来我们来满足题面里的操作。

• 前两种矛盾关系

直接判断即可

• 同种生物关系

首先判断矛盾，如果 \(x,y\) 之间存在捕食或被捕食关系，即 \(\operatorname{find}(x_{self})=\operatorname{find}(y_{hunt}) \operatorname{or} \operatorname{find}(x_{hunt})=\operatorname{find}(y_{self})\)则出现矛盾。

两个生物相同，他们本身相同，捕食的猎物也一定相同，捕食他们的生物一定相同，所以在每个域内部合并 \(x,y\)。

• 捕食关系

仍然先判断矛盾，如果 \(y\) 吃 \(x\) 或 \(x,y\) 同种，即 \(\operatorname{find}(x_{self})=\operatorname{find}(y_{hunt}) \operatorname{or} \operatorname{find}(x_{self})=\operatorname{find}(y_{self})\)则出现矛盾。

下一步，首先根据关系可以合并 \(x_{self}\) 与 \(y_{food}\)，以及 \(x_{hunt}\) 与 \(y_{self}\)。

值得注意的是，由于只有三种动物且为环形关系，所以还要合并 \(x_{food}\) 与 \(y_{hunt}\)。