dp 学习笔记
一.前言
动态规划是一种 OI 中常用的算法思想，广泛分布于各种算法，可以解决大量的问题。本文将着重介绍常见的一些动态规划类型与优化，欢迎纠错与指正。
本文夜间模式食用更佳（其实是分割线效果更明显）
二.背包问题
基本的背包问题都类似以下形式：
- 有 \(n\) 个物品，每种物品都有一个价值 \(w\) 和体积 \(c\)，每种物品数量为 \(k_i\),有一个背包容积为 \(m\),用一些物品装背包使得物品总价值最大.
01背包
最基础的一种背包。
模板中 $ k_i=1 $ 的情况。
用 \(f_{i,j}\) 代表i件物品填充j体积的最大收益
可得方程 \(f_{i,j}=\max(f_{i-1,j},f_{i-1,j-c_i}+w_i)\)
容易发现此时空间复杂度是 \(O(nm)\) 的，我们因为转移时只需要用到 \(i-1\) 维的状态，所以可以滚动数组，但注意此时需要倒叙枚举 \(j\)，同时不用进行 \(f_{i,j}=f_{i-1,j}\) 的转移。
空间复杂度降低至 \(O(m)\)。
由于 \(b_i\) 属性的影响，直接 01 背包明显不对，于是考虑预处理排序，按照 \(-b_j \cdot c_i>-b_i \cdot c_j\) 的顺序排序后跑 01 背包即可。
01 背包还有一种特殊情况：必须装满。这时我们将数组除 \(f_0\) 外的位置全部赋值为负无穷，也就是说负无穷代表“无解”，而能被装满的状态一定能从 \(f_0\) 得到转移，从而解决问题。
完全背包
模板中 $ k_i=\infty $ 的情况。
用 \(f_{i,j}\) 代表i件物品填充j体积的最大收益
可得方程 \(f_{i,j}=\max\limits_{k=1}(f_{i-1,j},f_{i-1,j-k\cdot c_i}+k\cdot w_i)\)
例题：疯狂的采药
名义是无限取，但其实最多取 \(\dfrac{m}{c_i}\) 个，所以也算是多重背包的一种，同样可以使用下文的多重背包优化进行优化。
多重背包
模板中 \(k_i\) 为任意值的情况。和完全背包一样的做法,只不过 \(k\) 有上界。
方程：
\(f_{i,j}=\max\limits_{k=1}^{k_i}(f_{i-1,j},f_{i-1,j-k\cdot c_i}+k\cdot w_i)\)
容易看出，多重背包的复杂度是 \(O(nmk)\) 的，十分的劣，这里一共有两种常用优化方法。
二进制分组优化
我们考虑把这 \(k\) 个物品分组，同组的物品合并为一个新物品。
我们采取这样一种分组策略：将 \(k\) 拆为 若干个二进制数加和（不重），同时保证次数连续递增，最后多余的部分单独成为一组。
我们看一个例子:
我们可以惊讶的发现，现在新分出来的这五个数也可以通过搭配凑出 \(18\) 一下的每个数！也就是说，这么分组过后对于答案没有影响，但只需要遍历 \(\log k\) 个数，复杂度变为 \(O(nm\log k)\)。
单调队列优化
单调队列优化具体说明参见第八小节。
首先考虑原方程 \(k_i=1\) 的情况：
此时需要对长度固定的一段区间取 max，很明显是一个单调队列板子。
接着考虑 \(k_i\) 任意的情况，我们可以将第二位按模 \(k_i\) 余数划分，对于每个剩余类都形成滑动窗口问题，进行单调队列优化。
复杂度为 \(O(nm)\)。注意无法与二进制分组优化共用。
带有特殊要求的背包
第 \(k\) 优问题
求 01 背包的第 \(k\) 优解。
考虑多设置一维，\(f_{i,j}\) 表示体积为 \(i\) 时第 \(j\) 优解。（这里已经使用了 01 背包的滚动数组优化，否则空间爆炸），对于 \(f_i\) 我们考虑转移，这是转移需要对 \(f_{i}\) 与 f_{i-c_i} 两个数组取前 \(k\) 优的值，考虑归并排序的思想，可以做到 \(O(k)\) 的转移，总复杂度为 \(O(nmk)\)。
板子题，同时使用了前文提到的必须装满情况的处理方法。
三.区间 dp
区间 dp 是一种比较另类的 dp。
一般情况下，dp 对象是一个区间。定义 \(dp_{i,j}\) 为对于区间 \([i,j]\) 的结果，通过若干子区间 \(dp_{l,r}\) 的 dp 值推出当前区间的值。
由于大多数 dp 求解顺序都是由子结构推整体，所以应优先求解小区间，可以这么理解：
一般情况下，先穷举区间长度 \(len\)，再穷举区间左端点 \(l\)，则右端点 \(r=l+len-1\)
区间 dp 有几种比较常见的转移方法，在此一一列举一下
题目中带有这些关键词大概率是区间 dp：
区间合并
枚举分界点
对于 \(dp_{i,j}\)，枚举断点 \(k\)，则易得方程：
由于序列是一个环，所以把序列复制一遍，破环为链的经典思想。
四.状压 dp
五.树上 dp
树上 dp，顾名思义，是一种在树上进行的 dp。
其形式一般为这样：
点击查看代码
void tree_dp(int x,int fa){//x为当前节点，fa为父亲节点
if(speical(x)){//某些题目存在关键点需要特殊处理
...;
}
for(int i=0;i<g[x].size();i++){
int to=g[x][i];
if(to==fa){//因为一般建的都是双向边，防止死循环
continue;
}
tree_dp(to,x);//优先转移儿子节点
dp[x]=...; //转移当前节点
}
return;
}
朴素树上 dp
都是模板题，按照上文模板形式写出 dp 即可 AC。
这里讲一道好题：
[USACO08JAN]Cell Phone Network G
首先容易看出一个性质：父亲结点，当前节点，儿子节点一定存在一个信号塔。
可得状态
\(f_{i,0}\) 表示 \(i\) 被自己覆盖的最小花费
\(f_{i,1}\) 表示 \(i\) 被儿子覆盖的最小花费
\(f_{i,2}\) 表示 \(i\) 被父亲覆盖的最小花费
方程也可容易得出：
换根 dp
通常用于计算无根树中根（深度，子树大小）会影响的一些信息。
对于每个点为根的情况，我们从它的父亲推出它的值（父亲子树深度加一，当前点子树深度减一，利用此性质 dp）
首先暴力求出 \(f_1\) 答案，同时预处理深度，子树大小。
设 \(f_i\) 为 \(i\) 为根时的答案，则有 \(f_i=f_{fa}-siz_i+n-siz_i\)。解决问题。
换根 dp 其实可以同时维护更多信息，本体并没有将其作用发挥到极致。
六.图上 dp
图上 dp，顾名思义，是一种在图上进行的 dp。
特别地，这里我们只讨论有向图的情况。
同时，假设有边 \(x \rightarrow y\)，则我们定义 \(x\) 为 \(y\) 的上行节点。
首先，从主观可以想到，每一个点的权值一定由其所有上行节点推出，也就是当其上行节点 dp 值全部转移完成后，该节点才可以进行 dp 转移。
由此可见，进行图上 dp 的图必须无环，所以说这个图一定为 DAG。
但是如何确定处理结点的顺序呢？这里有一种叫拓扑排序的算法：
设置一个集合 \(S\)，里面是所有入度为 \(0\) 的点，同时也声明一个栈 \(L\)，用于存储拓扑序。
每次从 \(S\) 中取出一个点 \(x\)放入 \(L\), 然后将 \(x\) 的所有边\((x,to_1),(x,to_2),.....\)删除。对于边(x,to_i)，若将该边删除后点 \(to_i\) 的入度变为 \(0\)，则将 \(to_i\) 放入 \(S\) 中。
重复此过程直至 \(S\) 为空，\(L\)中即为拓扑序。
最后，按照拓扑序逐项 dp 转移即可。
七.数位 dp
数位 dp，思想主要是将 dp 对象当成一个数的每一位，来统计答案的一种 dp 方法。
问题主要形式为：给两个整数 \(l,r\)，求区间 \([l,r]\) 之间 xxx 的数量。
为方便，数位 dp 一般以记忆化搜索实现，是一个很模块化的过程。其模板如下：
ll dfs(int x,int s,bool l,bool z){
/*
x:当前处理到第几位（更高位已经处理完毕）
s:视题而异，额外维护的一些信息
l:当前是否达到上界
z:上一位是否为前导0
*/
if(x==0) return s;
if(f[x][s][l][z]!=-1) return f[x][s][l][z];
int lim;
if(l) lim=a[x];
else lim=9;
ll sum=0;
for(int i=0;i<=lim;i++){
sum+=dfs(x-1,s+(),(l&(i==lim)),(z&(i==0)),d);
}
return f[x][s][l][z]=sum;
}
这里详细解释一下上界标记 \(l\)，的含义（感觉这里最难理解）。
具体地，举一个例子，假设当前枚举的上界为 \(1800\),假设已经取完最高位为 \(1\)，次高位为 \(8\)，那么如果第三位再取 \(9\)，就会超过上界，这种情况不应统计。所以，当前几位都与上界契合时，不可以随便取，最大只能取到上界的这一位，\(l\) 即是为区分这两种情况设立的标记。
八.单调队列优化
单调队列就是一种队列内的元素有单调性（单调递增或者单调递减）的队列，答案（也就是最优解）就存在队首，而队尾则是最后进队的元素。因为其单调性所以经常会被用来维护区间最值或者降低DP的维数已达到降维来减少空间及时间的目的。
看一道例题：滑动窗口
要求的是每连续的 \(k\) 个数中的最大（这里只说最大，最小同理）值，很明显，当一个数进入所要 "寻找" 最大值的范围中时，若这个数比其前面的数要大，前面的数不再可能是最大值。这时将前面比其小的数全部 \(pop\)，再将该数真正 \(push\) 进队尾。
维护这样一个递减的队列，不仅减少了比较次数，而且由于队列是递减的，队头必定是查询区域内的最大值，因此输出时只需输出队头即可。
显而易见，时间复杂度为 \(O(n)\)，得到了极大的优化。
如果那这种数据结构放在 dp 上呢？
【AC后会补上的讲解】
九.前缀和优化
当 dp 式子形如这种形式时：
\(dp_i=f(\sum\limits_{j=l}^rdp_j)\)
(\(f\) 函数为视题目而定的特殊处理)
可以定义一个 \(sum\) 数组存 \(dp\) 数组的前缀和，\(f\) 函数内部的计算优化为 \(O(1)\)，得到优化。
一眼的区间 dp。首先想到可以设置 \(dp_{i,j}\) 表示区间 \([i,j]\) 形成合法序列的方案数，但由于不同形式的括号序列形成方法不同，朴素做法会算重，这是可以限制旨在一个方向上转移，复杂度 \(O(n^2)\)。
套一个前缀和优化即可。
总结：前缀和优化很容易理解，发现并使用也很容易。
唯一有点复杂的也就是配上滚动数组了。
十.线段树/树状数组优化
前排小提示：由于线段树能做的树状数组也能做，所以本章常规情况只讲解线段树。
Part1 常规情况
这里的常规情况指单纯的用区间/单点的修改与查询进行优化。
例题：CF115E Linear Kingdom Races
讲解打完之后写。
Part2 二维偏序
这种情况，我们的树状数组九可以派上用场了。
例如这道题：[USACO11FEB]Generic Cow Protests G
首先有朴素 dp 状态：\(dp_{i}\) 表示第 \(i\) 只牛结尾的方案数。
转移也很容易：
令 \(sum\) 数组为 \(dp\) 数组的前缀和，则有
注意到只有两个变量 \(i,j\)，再盘一下 \(i,j\) 之间的关系，可得：
-
\(j < i\)
-
\(sum_j \leq sum_i\)
可以转化为二维偏序问题，将 \(sum_i\) 离散化，此时变量 \(i\) 天然有序，二维数点形成，用树状数组维护即可。
code：
点击查看代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
int n,a[100005],c[100005],sum[100005];
int ta[100005],ans=1;
const int mod=1000000009;
int lowbit(int x){
return x&-x;
}
void add(int x,int val){
while(x<=n){
ta[x]+=val;
ta[x]%=mod;
x+=lowbit(x);
}
}
int query(int x){
int sum=0;
while(x>0){
sum+=ta[x];
sum%=mod;
x-=lowbit(x);
}
return sum;
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}
for(int i=0;i<=n;i++){
c[i+1]=sum[i];
}
sort(c+1,c+n+2);
int tot=unique(c+1,c+n+2)-c-1;
for(int i=0;i<=n;i++){
sum[i]=lower_bound(c+1,c+tot+1,sum[i])-c;
}
add(sum[0],1);
for(int i=1;i<=n;i++){
ans=query(sum[i]);
add(sum[i],ans);
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
INF-1.链接区
INF.结语
相比于 dp 世界的无穷无尽，本文的剖析仍仅为皮毛。
祝大家都能学好 dp，也祝大家都能前程似锦。
\(\mathcal{The}\) \(\mathcal{ end.}\)
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