XMOJ 题目笔记

☆ 符号代表该比赛的订正已完成。

5 月 Div.2 ☆

场切：ABCDE

F 想出正解了，但是没写对拍 100->72，痛失 AK。

5 月 Div.1

场切：A（状压 DP）

B

TODO:

C

TODO:

D

XMOJ8516

简要题意：给定 $n$ 。你需要找一个数 $w$ ，以 $w$ 为参数画格子：在前 $⌊ \frac{n}{w} ⌋$ 行每行画 $w$ 个格子；紧接下来的一行画 $n mod w$ 个格子紧贴左侧；以从上往下为第一关键字，从左往右为第二关键字，依次在格子中写上 $1 \sim n$ 的数字。（下方有图解释）从 $1$ 开始走，可以走到相邻（四连通）格子，不能走到质数格，目标为走到 $n$ 。找一个最小的 $w$ ，使得目标被满足。保证 $n$ 不为质数。可以证明答案必然存在。 $n \leq 10^{24}$ 。

原 OJ 上的图片

先写 BFS 暴力，观察可得，数据较小时无规律，数据较大时答案好像只有 $8$ 和 $14$ 。

~~接下来不难了啊，我怎么就把这题给弃了呢~~！但凡仔细分析一下可知， $n$ 足够大时， $n mod 8 = 1$ 且 $n - 8$ 为质数时答案为 $14$ ，否则答案为 $8$ 。

MR 判质数即可。（根据 OEIS A014233， $10^{24}$ 范围内确定性判素可以用前 $13$ 个质数）

6 月 Div.1

场切：A（环上 DP）

B

没想出正解，但是骗分骗到 48，非常好。

TODO:

C 跳房子游戏

XMOJ8506

想出正解了，但是 100->10。

简要题意：求 $x$ 是数列 A010062（递推式： $a_{1} = 1, a_{i} = a_{i - 1} + popcount (a_{i - 1})$ ）的第几项（或报告 $x$ 不在该数列中）。 $x \leq 10^{12}$ 。

TODO:

D 背景墙

XMOJ8627

简要题意：已知 $n, m, k$ ，求用 $k$ 种不同颜色给 $n \times m$ 的方格染色本质不同的方案数（ $mod 10^{9} + 7$ ）。两种方案本质不同，当且仅当两种方案不能通过上下左右的循环移位得到。 $n, m, k \leq 10^{9}$ 。

前置知识：Burnside 引理。

令 $(a, b)$ 表示向右移 $a$ 位，向下移 $b$ 位的置换。

根据 Burnside 引理，可知答案为 $\frac{1}{n m} \sum_{(a, b)} ((a, b) 下的置换不变元个数)$ 。

$(a, b)$ 作用下的轨道长均相同，为 $L = lcm (\frac{n}{gcd (a, n)}, \frac{m}{gcd (b, m)})$ 。轨道个数为 $\frac{n m}{L}$ 。

对于置换不变元，同一根轨道上必须染同样颜色，每根轨道的染色方案互相独立，置换不变元个数为 $k^{\frac{n m}{L}}$ 。

指数太抽象，所以幂运算用 $pow$ 代替。

\begin{aligned} \frac{1}{n m} \sum_{a = 1}^{n} \sum_{b = 1}^{m} pow (k, \frac{n m}{lcm (\frac{n}{gcd (a, n)}, \frac{m}{gcd (b, m)})}) \\ = & \frac{1}{n m} \sum_{d_{1} | n} \sum_{d_{2} | m} pow (k, \frac{n m}{lcm (\frac{n}{d_{1}}, \frac{m}{d_{2}})}) (\sum_{a = 1}^{n} [d_{1} | a] [\frac{a}{d_{1}} ⊥ \frac{n}{d_{1}}]) (\sum_{b = 1}^{m} [d_{2} | b] [\frac{b}{d_{2}} ⊥ \frac{m}{d_{2}}]) \\ = & \frac{1}{n m} \sum_{d_{1} | n} \sum_{d_{2} | m} pow (k, \frac{n m}{lcm (\frac{n}{d_{1}}, \frac{m}{d_{2}})}) φ (\frac{n}{d_{1}}) φ (\frac{m}{d_{2}}) \\ = & \frac{1}{n m} \sum_{D_{1} | n} \sum_{D_{2} | m} pow (k, \frac{n m}{lcm (D_{1}, D_{2})}) φ (D_{1}) φ (D_{2}) \end{aligned}

实现精细一点，分解质因数顺便把 $φ$ 处理好，复杂度 $O (d (n) d (m) (\log n + \log m))$ 。

7 月 TG Day 1 图论 ☆

切 BCDEF。

A 最短路

XMOJ3353 是 BZOJ 原题。

简要题意：给定图，求 $1 \to n$ 最短路。 $n \leq 10^{6}, m \leq 10^{7}$ 。每个数据中有部分为随机生成。空间 256MB。

用 vector 存图会爆空间，需要用链式前向星。

直接二叉堆优化 Dijkstra 可过（ $O (m \log m)$ 为什么能过啊喂）。用 pbds 配对堆会 MLE。

卡常数：dis[n] 被求出之后直接退出 Dijkstra。

7 月 TG Day 2 膜你赛

一道都没场切。A 其实是会的，但是懒得写高精度。

A 是 NOIP 2006 原题，直接贴洛谷链接：P1066 [NOIP2006 提高组] 2^k进制数。场上懒得写高精度，用 int128 得 80pts。这样的策略事后证明是对的，我赛后高精度调了半天。

B

是 USACO 原题，直接贴洛谷链接：P3047 [USACO12FEB] Nearby Cows G

TODO:

C

TODO:

D

是 USACO 原题，直接贴洛谷链接：P1848 [USACO12OPEN] Bookshelf G

TODO:

7 月 TG Day 3 数据结构

切 ABCE。

TODO:

7 月 TG Day 4 膜你赛 ☆

个人评价：T1 绿、T2 绿、T3 黄、T4 黄。

场切：A（种类并查集）

C（二分）6e5 2log 被卡常 100->80，非常生气。

D（树状数组）场上写对忘交了 100->15，很傻逼。

B 幸福的道路

XMOJ6076

简要题意：给定一棵 $n$ 个节点的树，边权非负。完成两个任务：（1）对于每个点 $i$ ，求出以 $i$ 为端点的最长树链长 $D_{i}$ 。（2）求出 $D$ 中最大值减最小值 $\leq m$ 的最长区间，输出这个最长区间的长度。 $n \leq 10^{6}$

任务（1）的做法：两次 DFS 找到任意一条直径 $A B$ ，可以证明 $D_{i} = max (dis (A, i), dis (B, i))$ 。时间复杂度 $Θ (n)$ 。

任务（2）的做法：显然可以双指针，为了在双指针的同时维护区间内的最值，用两个单调队列。时间复杂度 $Θ (n)$ 。

7 月 TG Day 5 树上问题

个人评价：T1 蓝 / 紫、T2 绿、T3 蓝 / 紫、T4 黄。

切 BD。

A 异象石

几乎是 SDOI 原题（只是答案要除以 $2$ ），直接贴洛谷链接：P3320 [SDOI2015] 寻宝游戏 & CF176E Archaeology

观察到，设当前点集按 DFS 序排序后为 ${P_{1}, P_{2}, \dots, P_{m}}$ ，则当前的答案为 $\frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{m} dis (P_{i}, P_{i mod m + 1})$ 。加入和删除用平衡树维护即可。

B 逃学的小孩（这题切了）

场上猜结论猜对了（喜）。

是 NOI 2003 原题，直接贴洛谷链接：P4408 [NOI2003] 逃学的小孩

TODO:

C 树网的核

场上猜结论猜到只要任选一条直径了（喜）。

是 NOIP 2007 原题，直接贴洛谷链接：P1099 [NOIP2007 提高组] 树网的核

TODO:

*E 货车运输

是 NOIP 2013 原题，直接贴洛谷链接：P1967 [NOIP2013 提高组] 货车运输

TODO:

7 月 TG Day 6 膜你赛 ☆

个人评价：T1 橙 / 黄、T2 绿、T3 蓝、T4 绿。

场切 ACD。

B 数组开小了 1，改完就过了，编辑距离为 2，非常生气。

7 月 TG Day 7 DP

个人评价：T1 黄、T2 橙、T3 橙、T4 绿、T5 黄、T6 绿、T7 紫。

切 ABCEF。

D 决斗

XMOJ1551

简要题意：TODO:。 $n \leq 300$

环上 DP，断环成链，把链延长成原来的两倍。

设 $f_{l, r}$ 为 $l, r$ 两人是否能够把中间所有人干掉（为 $0$ 或 $1$ ）。可以 $O (n^{3})$ 分类讨论转移。

$i$ 能存活到最后，当且仅当 $f_{i, i + n} = 1$ 。

*G 邮局

是 IOI 2000 原题，直接贴洛谷链接：P4767 [IOI2000] 邮局加强版

TODO:

7 月 TG Day 8 膜你赛

个人评价：T1 绿、T2 绿、T3 绿、T4 绿 / 蓝。

场切 AD。

A（这题切了）

XMOJ4641

简要题意：给定 $n, m$ （ $n \leq 10^{7}, m \leq 10^{14}$ ），求：

\sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{\sum_{j = 1}^{m} d (i \times j)}

$n \leq 10^{7}$ ，所以可以枚举 $i$ 。问题变为求 $(\sum_{j = 1}^{m} d (i \times j)) mod 2$ 。注意到 $d (x) mod 2 = 1$ 当且仅当 $x$ 为完全平方数，设 $i$ 可表示为 $f_{i} \times a^{2}$ 其中 $f_{i}$ 不含平方因子，有：

\begin{aligned} (\sum_{j = 1}^{m} d (i \times j)) mod 2 \\ = ⌊ \sqrt{\frac{m}{f_{i}}} ⌋ mod 2 \end{aligned}

$f_{i}$ 可线性筛预处理。时间复杂度 $Θ (n)$ 。

B

TODO:

C

KE 哥哥评价为唐题。

TODO:

7 月 TG Day 9 强连通分量

切 AB。

C 中队长

唐。

*D 最大半连通子图

7 月 TG Day 10 膜你赛

个人评价：T1 绿、T2 绿、T3 蓝、T4 绿。

场切 AB。

A 鼎纹（这题切了）

是原题，直接贴洛谷链接：P3585 [POI2015] PIE

简要题意：给定一个 $n \times m$ 的图案 $A$ （为一个 $01$ 矩阵， $1$ 表示黑块， $0$ 表示透明）和一个 $a \times b$ 的图案 $B$ （同上），求：是否能用若干个图案 $B$ 叠在一起（不允许旋转和翻面；不允许有格子叠了多个黑块，即所有的图案 $B$ 的黑块不能重叠）。 $n, m, a, b \leq 10^{3}$ 。

好题。

TODO:

B 千帆渡（这题切了）

XMOJ4645

TODO:

C 旷野大计算

XMOJ4646

TODO:

D 线性规划问题

XMOJ4718

TODO:

7 月 TG Day 11 割点割边 ☆

切 ABCDE。

懒得评，题目不好。

7 月 TG Day 12 膜你赛

场切 ABC。

TODO:

A

B

7 月 TG Day 13 哈希/ST表

个人评价：T1 黄 / 绿、T2 绿、T3 蓝 / 紫、T4 紫。

切 AB。

B 是原题，直接贴洛谷链接：P3501 [POI2010] ANT-Antisymmetry & SP15569 STC02 - Antisymmetry

C 好点对

TODO:

$f_{i}$ 是 $i$ 为左端点的方案数， $g_{i}$ 是 $i$ 为右端点的方案数，用单调栈可以 $O (n)$ 求。

对于每个询问，ST 表求出最大值的下标 $p$ ， $\sum_{i = L}^{p - 1} f_{i} + \sum_{i = p + 1}^{R} g_{i}$ 即为答案。

D 超级钢琴

是 NOI 2010 原题，直接贴洛谷链接：P2048 [NOI2010] 超级钢琴

TODO:

7 月 TG Day 14 膜你赛

个人评价：T1 绿、T2 绿、T3 蓝 / 紫、T4 蓝。

场切 D。

A 最长公共子序列

XMOJ4710

简要题意：给定一个长为 $n$ 的数组 $a$ 和一个长为 $m$ 的数组 $b$ 。保证 $a$ 中元素互不相同， $b$ 中元素互不相同，但是 $a$ 和 $b$ 的元素可能有重复。求 $a$ 与 $b$ 的最长公共子序列（即 LCS）大小。 $n, m \leq 3 \times 10^{5}$ ，值域 $10^{9}$ 。

朴素 DP 是没有前途的！因为朴素 DP 无法考虑到互不相同的特殊性质，即问题变为了朴素 LCS，据说可以归约到 OV 所以复杂度不可能再往下降了。可以优化到 $O (\frac{n m}{w})$ ，有模板题 LibreOJ6564，然而不足以通过本题。

不妨设 $a$ 和 $b$ 有 $t$ 个公共元素，那么问题变为了两个长度为 $t$ 的排列的 LCS。抄洛谷模板 P1439 【模板】最长公共子序列即可。时间复杂度 $O (n \log n)$ 。

【重要部分】对拍

在场上做这题时，我的对拍犯了一个严重的错误，这是我的数据生成器：

mt19937 Rand(time(0));

void RandA(int n) {
    uset<int> A;
    uniform_int_distribution<int> dist(1, 1e9);
    rep(i, 1, n) {
        int a = dist(Rand);
        while (A.find(a) != A.end())
            a = dist(Rand);
        A.insert(a);
        cout << a << " \n"[i == n];
    }
}

int main() { ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
    int n = RandLR(1, 3000), m = RandLR(1, 3000);
    cout << n << " " << m << endl;
    RandA(n), RandA(m);
    return 0;
}

这样随出来的 $a$ 和 $b$ 的 LCS 几乎永远是 $0$ ，对拍永远能过，因此我在场上没有发现自己代码的问题，100->30。

B 训练

XMOJ4713

简要题意：你希望在 $m$ 单位时间（即 $[0, m - 1]$ 的区间）里获得尽量多的经验值。有 $n$ 个物品，在第 $x$ 单位时间使用第 $i$ 个物品会消耗 $c_{i}$ 单位时间（即时间变为 $x + c_{i}$ ）获得 $a_{i} - b_{i} (x + c_{i})$ 的经验值。每个物品只能最多使用一次。 $n \leq 10^{3}$ ， $m \leq 3 \times 10^{3}$ ， $a_{i} \leq 10^{6}$ 。保证 $a_{i} - b_{i} (x + c_{i})$ 在任何时刻都不为负数。多测， $5$ 组数据。

邻项交换贪心。

若 $i$ 在前 $j$ 在后，则贡献为 $a_{i} - b_{i} (x_{0} + c_{i}) + a_{j} - b_{j} (x_{0} + c_{i} + c_{j})$ 。

若 $j$ 在前 $i$ 在后，则贡献为 $a_{j} - b_{j} (x_{0} + c_{j}) + a_{i} - b_{i} (x_{0} + c_{j} + c_{i})$ 。

不妨设 $i$ 在前 $j$ 在后，相减得 $- b_{j} c_{i} > - b_{i} c_{j}$ ，即 $\frac{b_{i}}{c_{i}} > \frac{b_{j}}{c_{j}}$ 。

排序后类似 01 背包 DP 即可。 $O (n m)$ 。

C 鱼

XMOJ4714 懒得写简要题意。

TODO:

D 计树（这题切了）

是 HNOI 2004 原题，直接贴洛谷链接：P2290 [HNOI2004] 树的计数

简要题意：一棵 $n$ 个节点的树，已知第 $i$ 个节点的度数为 $d_{i}$ ，求总共有几棵满足要求的树。保证答案不超过 $10^{17}$ 。 $n \leq 150$ 。

根据 Prufer 序列可得答案为 $\frac{(n - 2)!}{\prod_{i = 1}^{n} (d_{i} - 1)!}$ 。

法 1：高精度计算即可。
法 2：计算分子分母中每个质因子出现次数。
法 3：把答案对一个大于 $10^{17}$ 次方的质数取模，除法可以使用逆元。需要用 __int128。
法 4：根据多重组合数公式推导过程，答案可写为 $\prod_{i = 1}^{n} (\binom{\sum_{j = 1}^{i} (d_{j} - 1)}{d_{i} - 1})$ ，使用杨辉三角预处理组合数即可。

7 月 TG Day 15 真题

洛谷评价：T1 蓝、T2 绿、T3 蓝、T4 蓝。

A 以前做过，直接抄了。

B 时间复杂度错误的做法洛谷上过去了，XMOJ 机子太慢没卡过去。。。

A

是 CSP-S 2021 原题，直接贴洛谷链接：P7914 [CSP-S 2021] 括号序列

TODO:

B

是 CSP-S 2019 原题，直接贴洛谷链接：P5658 [CSP-S2019] 括号树

TODO:

C

是 CSP-S 2019 原题，直接贴洛谷链接：P5664 [CSP-S2019] Emiya 家今天的饭

TODO:

D

是 NOIP 2018 原题，直接贴洛谷链接：P5021 [NOIP2018 提高组] 赛道修建

TODO:

posted @ 2024-07-04 20:35 August_Light 阅读(55) 评论(0) 编辑收藏举报

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