这一节主要讲解了二元一次丢番图方程、本原勾股数、佩尔方程（Pell Equation）。

丢番图方程（Diophantine equation）是指未知数为整数的整数系数多项式等式。（丢番图方程 - 维基百科）

二元一次丢番图方程：$ax+by=c$

关于 $x,y$ 的形如 $ax+by=c$ 的丢番图方程称为二元一次丢番图方程。

求解

方程有解的充要条件为 $gcd(a,b)|c$。

首先凑出该方程的一组特解 $(x_0,y_0)$。

则原方程的解为：

补充：第一步凑特解可以使用扩展欧几里得算法（Extended Euclidean algorithm）进行无需人类智慧的求解。

勾股数：$x^2+y^2=z^2$

Example 求解丢番图方程 $x^2+y^2=z^2$。即求解勾股数（Pythagorean triples）的表达式。

Solution

$x,y,z$ 若不互质，则必定有 $gcd(x,y,z)=d\ne 1$，将 $x,y,z$ 都除去 $d$ 可得互质的解。$x,y,z$ 两两互质的勾股数称为本原（primitive）勾股数。接下来仅求解本原勾股数。

分析奇偶性，可得 $x,y$ 为一奇一偶，$z$ 为奇数。不妨设 $x$ 为偶数，$y$ 为奇数。

不难得到：

而 ${\displaystyle \frac{z-y}{2}}$ 与 ${\displaystyle \frac{z+y}{2}}$ 是互质的，所以均为完全平方数。

设 ${\displaystyle \frac{z-y}{2}}=s^2$ 与 ${\displaystyle \frac{z+y}{2}}=r^2$，得到本原勾股数表达式：

其中 $r\perp s$ 且 $r>s$。

其它勾股数只要将本原勾股数的三个数都乘上一个倍数 $d$ 即可。

本原勾股数的性质

• $x,y$ 有且仅有一个是 $3$ 的倍数。
• $x,y$ 有且仅有一个是 $4$ 的倍数。
• $x,y,z$ 有且仅有一个是 $5$ 的倍数。

Example: $x^4+y^4=z^2$

用无穷递降法（Infinite descent）证明无解。

TODO:

Pell 方程：$x^2-D{y}^2=\pm 1$

篇幅太长，单独分一页：AoPS - Chapter 24.5 The Pell Equation

课后习题

No. 413

Problem

Solve the equation

for all positive integer pairs $(x,y)$.

Solution

突破口：阶乘之和在 $moda$ 时，$a!$ 及之后的项都会变成 $0$。

经过尝试，在 $(\mathrm{mod}5)$ 下观察，当 $x\ge 5$ 时，$y^2\equiv 3(\mathrm{mod}5)$，这是不可能的。因此 $x\le 4$。

依次尝试，可得 $\boxed{{\displaystyle \{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}}}$ 或 $\boxed{{\displaystyle \{\begin{array}{l}x=3\\ y=3\end{array}}}$。

No. 417

Problem

Prove that if there exist natural numbers $a,b,c,d,e$ for which $a^4+b^4+c^4+d^4=e^4$, then at least three of the numbers $a,b,c$ and $d$ are multiples of $5$.

Solution

$a^4\equiv 1(\mathrm{mod}5)$。（当且仅当 $a\not\equiv 0(\mathrm{mod}5)$）

显然得证。

No. 420

Problem

Are there integers $m$ and $n$ such that $5m^2-6mn+7n^2=1985$?

Solution

直接配平方可得 $2m^2+3(m-n{)}^2+4n^2=1985$，$m,n$ 有限，其实已经可以开始枚举了区区几千几万组而已。

注意到 Problem 问的是有没有解，所以我们大胆猜测无解！

我们配的式子有一个问题：三个平方的结果不独立。两个变量决定三个结果，这不方便说明无解。

书上答案给了一个方法，我们可以给原式 $\times 5$ 再配：

接下来随便找一个模数矛盾就行了。比如 $(\mathrm{mod}8)$，前一项为 $0\text{ or }1\text{ or }4$，后一项为 $0\text{ or }2$，等号右边为 $5$，矛盾。$◻$

No. 424

Problem

Suppose $D$ is prime. Prove that $x^2-D{y}^2=-1$ has no solutions if $-1$ is not a quadratic residue $(\mathrm{mod}D)$.

Solution

在 $(\mathrm{mod}D)$ 下观察，得 $x^2\equiv -1(\mathrm{mod}D)$。$◻$

No. 426

Problem

Prove that the Diophantine equation

has no solutions in nonzero integers.

Hint

Consider the parity of the left hand side in various cases.

Solution

根据 Hint，分类讨论之后可知 $x,y,z$ 都为偶数。

设 $2a=x,2b=y,2c=z$。代入得：

因此 $(a,b,c)$ 也是原方程的一组解。

任何一组解减半之后又是一组新的解，根据无穷递降法，意味着解只能是 $(0,0,0)$，而这组解不符合 nonzero。$◻$