3.AoPS - Chapter 15 Combinatorics2024-05-13

4.AoPS - Chapter 19 Probability2024-05-24 5.AoPS - Chapter 24 Diophantine Equations2024-05-16 6.AoPS - Chapter 24.5 The Pell Equation2024-05-20 7.AoPS - Chapter 14 Inequalities2024-06-02

这一章主要讲解各种组合恒等式。

~~但是事实上，有很大一部分都能用有限微积分、OGF、EGF 之类的武器轻松搞定~~。

关于有限微积分：有限微积分与数列求和 - warzone
关于 OGF 与 EGF：铃悬的数学小讲堂——生成函数初步

组合恒等式

组合数定义

朴素定义：

(\binom{n}{m}) = \frac{n!}{m! (n - m)!}

下降幂定义：

(\binom{n}{m}) = \frac{n^{\underset{―}{m}}}{m!}

组合数递推式（Pascal's Identity）

(\binom{n}{m}) = (\binom{n - 1}{m}) + (\binom{n - 1}{m - 1})

组合意义

从 $n$ 个元素中选 $m$ 个：

若最后一个元素不选，则方案数为 $(\binom{n - 1}{m})$ 。
若最后一个元素选，则方案数为 $(\binom{n - 1}{m - 1})$ 。

二项式定理（The Binomial Theorem）

(x + y)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) x^{i} y^{n - i}

组合意义

$x$ 的次数为 $i$ 的项， $y$ 的次数必为 $n - i$ 。

从 $n$ 个 $(x + y)$ 中选出 $i$ 个 $x$ 的方案数为 $(\binom{n}{i})$ 。

代数证明

用数学归纳法。EGF 也可行~~有一种儿子推出爸爸的美~~。

补充

有利用多重组合数的多项式定理（The Multinomial Theorem）。

三项式版恒等式

(\binom{n}{k}) (\binom{k}{m}) = (\binom{n}{m}) (\binom{n - m}{k - m}) = (\binom{n}{n - k, k - m, m})

平行求和

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{m + i}{i}) = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{m + i}{m}) = (\binom{n + m + 1}{n})

代数证明

利用 $(\binom{n + x}{n}) = Δ (\binom{n + x}{n + 1})$ ：

\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{n} (\binom{m + i}{m}) \\ = & \sum_{0}^{n + 1} (\binom{m + x}{m}) δ x \\ = & (\binom{n + m + 1}{m + 1}) - (\binom{m}{m + 1}) \\ = & (\binom{n + m + 1}{n}) \end{aligned}

上指标求和公式

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{i}{m}) = (\binom{n + 1}{m + 1})

这个公式利用的是 $(\binom{x}{n}) = Δ (\binom{x}{n + 1})$ ，证明同平行求和。

范德蒙德卷积（Vandermonde's Identity）

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{a}{i}) (\binom{b}{n - i}) = (\binom{a + b}{n})

组合意义

两侧均为从 $a + b$ 个元素中取出 $n$ 个元素的方案数。

代数证明

使用 OGF：

\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{n} (\binom{a}{i}) (\binom{b}{n - i}) \\ = & \sum_{i = 0}^{n} ([x^{i}] (x + 1)^{a}) ([x^{n - i}] (x + 1)^{b}) \\ = & [x^{n}] (x + 1)^{a + b} \\ = & (\binom{a + b}{n}) \end{aligned}

特殊情况

\sum_{i = 0}^{n} {(\binom{n}{i})}^{2} = (\binom{2 n}{n})

上指标反转

(\binom{n}{m}) = (- 1)^{m} (\binom{n - m - 1}{m})

杂项

a b = (\binom{a + b}{2}) - (\binom{a}{2}) - (\binom{b}{2})

a b c = (\binom{a + b + c}{3}) - (\binom{a + b}{3}) - (\binom{a + c}{3}) - (\binom{b + c}{3}) + (\binom{a}{3}) + (\binom{b}{3}) + (\binom{c}{3})

课后习题

No. 248

Problem

For fixed $n$ , maximize the quantity $(\binom{2 n + k}{n}) (\binom{2 n - k}{n})$ 。

Solution

提出两个 $\frac{1}{n!}$ ，问题化为最小化 $(2 n + k)^{\underset{―}{n}} (2 n - k)^{\underset{―}{n}}$ 。

\begin{aligned} (2 n + k)^{\underset{―}{n}} (2 n - k)^{\underset{―}{n}} \\ = & \prod_{i = 0}^{n - 1} (2 n + k - i) (2 n - k - i) \end{aligned}

根据均值不等式（the AM-GM inequality）在 $k = 0$ 时，原式取到最大值 ${(\binom{2 n}{n})}^{2}$ 。

posted @ 2024-05-13 19:39 August_Light 阅读(42) 评论(0) 编辑收藏举报

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