AoPS - Chapter 14 Inequalities

TODO:

全文的 \(\sum\) 与 \(\prod\) 在无特殊说明时默认为 \(i = 1,2,\cdots,n\)。

平凡的不等式

\(\forall x \in \mathbb R\)，

\[x^2 \ge 0 \]

例 1

Example 证明：\(\forall x \in \mathbb R\)，\(\cos 2x + \sin^2 x \ge 0\)。

Solution

由 \(\cos\) 二倍角公式可得：

\[\begin{aligned} & \cos 2x + \sin^2 \\ =& \cos^2 x - \sin^2 x + \sin^2 x \\ =& \cos^2 x \ge 0 \end{aligned}\]

三角不等式

\(\forall a,b \in \mathbb C\)，

\[|a+b| \le |a| + |b| \]

AM-GM（算术&几何 均值不等式）

\(\forall a_i > 0\)，

\[\sqrt[n]{\prod a_i} \le \dfrac {\sum a_i} n \]

简写为：

\[GM \le AM \]

  • \(GM\) 为几何平均数（Geometric Mean）。
  • \(AM\) 为算术平均数（Arithmetic Mean）。

证明

（注：2024 SH 建平自招考了该结论的证明作为数学最后一题。）

TODO:

柯西不等式（Cauchy's Inequality）

\(\forall a_i,b_i \in \mathbb R\)，

\[\left(\sum a_i^2 \right) \left(\sum b_i^2 \right) \ge \left(\sum a_ib_i \right)^2 \]

常用的变形：

\[\left(\sum a_i \right) \left(\sum b_i \right) \ge \left(\sum \sqrt{a_ib_i} \right)^2 \]

柯西不等式证明

柯西不等式的应用：权方和不等式

均值不等式

\(\forall a_i > 0\)，

\[\frac n {\sum \frac 1 {a_i}} \le \sqrt[n]{\prod a_i} \le \frac {\sum a_i} n \le \sqrt{\frac {\sum a_i^2} n} \]

简写为：

\[HM \le GM \le AM \le RMS \]

  • \(HM\) 为调和平均数（Harmonic Mean）。
  • \(RMS\) 为平方平均数（Root Mean Square）。

幂平均（Power Mean）

\[M_k = \sqrt[k]{\frac 1 n \sum a_i^k} \]

  • \(k=-1\) 时即为调和平均 \(HM\)。
  • \(k=0\) 时即为几何平均 \(GM\)。（看 Wiki）
  • \(k=1\) 时即为算术平均 \(AM\)。
  • \(k=2\) 时即为平方平均 \(RMS\)。
  • \(k=-\infty\) 时即为最小值，\(k=+\infty\) 时即为最大值。（看 Wiki）

幂平均不等式（Power Mean Inequality）

\(\forall n < m\)：

\[M_n \le M_m \]

证明超纲了。

参考资料

课后习题

课后习题

这一章的课后习题讲解做得比较细致。

  • No. 210 (Easy) 直接 AM-GM。答案为 \(\boxed{2}\)。
  • No. 211 (Easy) 不妨设 \(x \le y \le z\)，令 \(z\) 为常数后套 AM-GM。
  • No. 212 (Normal) 差角公式展开 \(\cos(\alpha - \beta)\)，使用柯西不等式。
  • No. 213 (Easy) 直接 AM-GM。答案为 \(\boxed{\frac 2 3}\)。
  • No. 214 (Easy) 做法同 No. 211。
  • No. 215 (Easy) 做法同 No. 211。

No. 216 (Normal)

Problem

Solution

  • No. 217 (Easy) 直接 AM-GM。
  • No. 218 (Easy) 直接解一元二次不等式。

No. 219 (Normal)

Problem

Solution

  • No. 220 (Normal) 高次韦达，套 AM-GM（数据是凑好的，刚好取等）。答案为 \(\boxed{48}\)。

No. 221 (Hard)

Problem

Solution

No. 222 (Hard)

Problem

Solution

  • No. 223 (Normal) 锥体体积公式 \(V = \frac 1 3 Sh\)，套柯西不等式。
  • No. 224 (Easy) 直接套 AM-GM。答案为 \(\boxed{3}\)。
  • No. 225 (Easy) 经典小学奥数。\(x = \frac 1 {\frac 1 u + \frac 1 v}\)，\(y = \frac {u+v} 2\)，直接套 AM-HM。

No. 226 (Hard)

Problem

Solution

No. 227 (Hard)

Problem

Solution

No. 228 (Hard)

Problem

Solution

  • No. 229 (Normal) 直接套 AM-GM 和柯西不等式。
  • 230 还没做 TODO:
  • 231 还没做 TODO:

No. 232 (Hard)

Problem

Solution

  • 233 还没做 TODO:
  • 234 还没做 TODO:
posted @ 2024-06-02 14:11  August_Light  阅读(17)  评论(0)    收藏  举报