AMC2024 12A 题目笔记

题目编号按照 AoPS。

√√√√√ √√××√ .×√√√ √.√√√ .....

P6 对啦！

首先注意到答案应该是一个正的加两个负的。

暴力枚举所有合法的三元组，算得 $10 - 6 - 1 = (B) 3$ 。

☆经验：枚举一个数 $n$ 的分解 $x \times y \times z$ 是可以接受的。A034836，其 1~1000 的数值。

P8 寄啦！

\begin{aligned} \ln (\sin 3 x) + \ln (\cos 2 x) & = 0 \\ \ln (\sin 3 x \cos 2 x) & = 0 \\ \sin 3 x \cos 2 x & = 1 \\ x & = \frac{π}{2} \end{aligned}

验算后发现不正确。答案为 $(A) 0$ 。

☆经验：对数函数题目要验算。

☆经验：三角函数题目，不要急着画图，先看看代数能不能分析。

P11 对啦！

\begin{aligned} 2 b^{3} + 2 b + 4 & \equiv 0 (\mod 16) \\ b^{3} + b + 2 & \equiv 0 (\mod 8) \\ b & \equiv 3, 6, 7 (\mod 8) & 枚举可知 \end{aligned}

$[5, 2024]$ 之间满足这个条件的数有 $758$ 个，因此答案为 $(B) 20$ 。

☆经验：做到 $b^{3} + b + 2 \equiv 0 (\mod 8)$ 这一步就不要再想着把左边因式分解，而是可以直接枚举 $b$ 。

P12 寄啦！

令 $n = 720$ 。

设 $n^{2} = u \times v$ 其中 $u < v$ 。

则设 $u = n \times \frac{p}{q}, v = n \times \frac{q}{p}$ ，其中 $p ⊥ q$ 。

因此 $p ∣ n, q ∣ n$ 。枚举 $n$ 的所有约数对 $(p, q)$ ，找到 $\frac{p}{q}$ 最接近 $1$ 的。

具体到这题，是 $\frac{15}{16}$ 。因此 $v = 768$ ，答案为 $(E) 21$ 。

确实是难题。

P15 对啦！

我的考场做法

强行展开，高次韦达。算了半天。答案为 $(D) 125$ 。

AoPS 上的天才做法

由高次韦达可知， $x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ 的三个根的乘积为 $- d$ 。

注意力惊人： $\prod (x^{2} + 4) = \prod (x + 2 i) (x - 2 i) = (\prod (x + 2 i)) (\prod (x - 2 i))$

即 $f (x + 2 i)$ 和 $f (x - 2 i)$ 的 $- d$ 之积，即 $(- 5 - 10 i) \times (- 5 + 10 i) = (D) 125$ 。

P16 空啦！

不妨看成 $12$ 个元素的排列，前 $4$ 个给一个人，中间 $4$ 个给一个人，最后 $4$ 个给一个人。

\frac{(\binom{4}{3}) \times (\binom{4}{2}) \times (\binom{4}{1}) \times 3!}{(\binom{12}{3, 2, 1, 6})} = \frac{4}{385}

因此答案为 $(C) 389$ 。

赛时没算出来的原因：多重集忘记除掉 $6!$ 了。

P17 空啦！

随便拿两个式子加一下或者减一下就有了。答案为 $(D) 276$ 。

☆经验：看到数论题别急着跑，先加加减减凑个两分钟，什么都没发现再跑。

P19 对啦！

简单的余弦定理+托勒密定理。答案为 $(D) \frac{39}{7}$ 。

P20 对啦！

令三角形边长为 $1$ ， $A P = p, A Q = q$ 。

求的即为 $\frac{1}{2} \sin \frac{π}{3} \times p q < \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{4}$ 的概率，即 $p q < \frac{1}{2}$ 。

积个分可知这玩意儿是 $\frac{1}{2} + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{2 x} d x = \frac{\ln 2 + 1}{2} \in (D) (\frac{3}{4}, \frac{7}{8}]$ 。

P21 空啦！

不是很难的题目，但是考场上没时间做了。

不难求得 $a_{n} = n + \frac{1}{n}$ 。

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{100} (i + \frac{1}{i})^{2} \\ = & \sum_{i = 1}^{100} i^{2} + 2 + \frac{1}{i^{2}} \\ = & 338350 + 200 + \sum_{i = 1}^{100} \frac{1}{i^{2}} \\ \approx & 338550 + \frac{π^{2}}{6} \end{aligned}

答案为 $(B) 338551$ 。

P22 空啦！

大分讨 $(C) 146$ 。

考场上弃了这题是对的。

天秀：Solution 3 Do it if you have no time

only options B and C are close,and people will be likely to forget the last case. Thus, we have $(C) 146$ ways.

P23 空啦！

\begin{aligned} \tan^{2} x + \tan^{2} (\frac{π}{2} - x) \\ = & (\tan x + \tan (\frac{π}{2} - x))^{2} - 2 \\ = & (\frac{\sin \frac{π}{2}}{\cos x \cos (\frac{π}{2} - x)})^{2} - 2 \\ = & (\frac{2}{\sin 2 x})^{2} - 2 \end{aligned}

一通乱化可得答案为 $(B) 68$ 。

三角函数是我的薄弱点，要多练。

P24 空啦！

其实只要求四倍的整数边不等边锐角三角形最小面积。尝试可知是 $4 - 5 - 6$ 三角形。

根据海伦公式可知面积为 $\frac{15}{4} \sqrt{7}$ 。选择 $(D) 15 \sqrt{7}$ 。

☆经验：三角形面积不只有底乘高除以二和正弦定理，还有海伦公式。

P25 空啦！

非常简单的巨大分类讨论。 $(B) 1292$ 。

posted @ 2024-11-09 16:06 August_Light 阅读(21) 评论(0) 编辑收藏举报

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