√√√×√ √√.√√ ...√. $=9$

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2019_AIME_I_Problems

P4 寄啦！

唐题。分讨 substitution 的次数即可。

P5 对啦！

DP。

令 $f_{x,y}$ 为走到 $(x,y)$ 的概率。边界情况为 $f_{4,4}=1$。答案即为 $\frac{1}{3}{f}_{1,1}$。

答案为 $\frac{1}{3}\times \frac{245}{729}=\frac{245}{3^7}$。提交答案 $\boxed{{\displaystyle 252}}$。

P6 对啦！

想了半天还没会，初中平几真的退化了。

导角，相似，完事。（看 Sol 8）

P8 空啦！

Sol 1

注意到原问题只和 $y={\sin }^{2}x$ 有关，即：

已知 $y^5+(1-y{)}^5=\frac{11}{36}$，求 $y^6+(1-y{)}^6$。

考场上做到这不会了。AoPS 上的 Sol 1 给了个注意力很强的做法：

换元 $z=\frac{1}{2}-y$。原问题变为：

已知 $(\frac{1}{2}-z{)}^5+(\frac{1}{2}+z{)}^5=\frac{11}{36}$，求 $(\frac{1}{2}-z{)}^6+(\frac{1}{2}+z{)}^6$。

然后 Binomial Theorem，奇次项全部消光，变成关于 $z^2$ 的二次方程。完事。

☆经验：$x^n+(1-x{)}^n$ 类型的柿子，可以换元后二项式定理。

Sol 2

高次之和，考虑 Newton Sums。

构造函数：

设 $c={\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$。

设 $S_k=({\sin }^{2}x{)}^k+({\cos }^{2}x{)}^k$。Newton Sums 的递推公式：

边界条件为 $S_0=2$ 和 $S_1=1$。

递推上去可得 $S_5=5c^2-5c+1$，然后这个东西又等于 $\frac{11}{36}$，完事。

考场上其实想到了类似的做法，但是没有意识到最后只是要解一个关于 $c$ 的高次方程，只觉得 $c$ 似乎解不出来。痛失这一题。

P9 对啦！

带点证明的分讨。写一遍完整过程重新理一下思路。

$d(n)+d(n+1)=7$，则两项必有一个奇数。$d$ 为奇数意味着完全平方数，而 $1000$ 以内完全平方数数量是比较少的，计算量较小的枚举可以接受。

Case 1：$n+1$ 为完全平方数

设 $n+1$ 为 $k^2$，则 $n=k^2-1=(k-1)(k+1)$。

Sub Case 1：$d(n+1)=3$

可得 $k$ 为质数。在 $k$ 充分大时 $k-1$ 和 $k+1$ 都不是质数，那么 $n$ 不可能只有 $4$ 个因子。

舍去。

小情况是 $n=8$，这个成立。

Sub Case 2：$d(n+1)=5$

可得 $d(n)=2$，即 $n$ 为质数。但是 $n=(k-1)(k+1)$ 在 $k$ 充分大时是合数。

舍去。

Case 2：$n$ 为完全平方数

$d(n)=3\text{ or }5$。对应的 $d(n+1)=4\text{ or }2$。

枚举得到一些解：$9,16,25,121,361$。

综上所述，把 $6$ 个解加起来可得 $8+9+16+25+121+361=\boxed{{\displaystyle 540}}$。

P11 空啦！

首先这个题的图真的很难画（恼）。

勾股定理硬做要花很长很长时间。。。

令 $a$ 为底边一半，$\mathrm{\angle }MCI=\theta =\frac{1}{2}\mathrm{\angle }ACB$。有 $r=a\tan \theta$。

有 $r_A=a\cot \theta$（直角三角形 $CM{I}_A$），$r_B=AM=a\tan 2\theta$（圆 $I_B$ 与 $BC$ 相切）。

又知 $I{I}_B=a\sec \theta \sec 2\theta$（$\mathrm{\angle }CI{I}_B=2\theta$ 是三角形 $BCI$ 外角 & 直角三角形 $IC{I}_B$）。

解方程得 $\sin \theta =\frac{2}{3}$。

腰 $AC=a\sec 2\theta =9a$。周长为 $20a$。

$a=1$ 时取到最小。答案为 $\boxed{{\displaystyle 020}}$。（呼

☆经验：一堆勾股定理的题目，可以考虑用三角函数来刻画。

P12 空啦！

☆经验：复数题目中的角度用辐角来刻画。对辐角进行加减法，即为复数的乘除法。

刻画垂直，除了勾股定理 / 叉积为 $0$（斜率互为负倒数） 以外，还有：

（复数除法：模长相除，辐角相减）

意味着 $\mathrm{\Re }(z+1)(z-19)=0$。

又已知 $\mathrm{\Im }z=11$，代入得 $(\mathrm{\Re }z{)}^2+18(\mathrm{\Re }z)-140=0$。

得 $z=9\pm \sqrt{221}+11i$，提交答案 $\boxed{{\displaystyle 230}}$。

P13 空啦！

艹考试的时候读错题了。那么简单的题。

P14 对啦！

首先考虑分解 $x^8+1$，但是这个东西分解出来带 $\sqrt{2}$ 之类的东西就非常不好。

换个思路：$p|{2019}^8+1\iff {2019}^8\equiv -1(\mathrm{mod}p)$。

我的思路

令 $g$ 为原根，$a={\log }_{g}2019$。则 $8a=\frac{p-1}{2}$，即 $p=16a+1$。

枚举 $p=17$ 不对，下一个 $p=97$ 就对了。（检验用快速幂）

标准思路

Definition. 当 $m\ge 3$ 且 $gcd(a,m)=1$，$a^x\equiv -1(\mathrm{mod}p)$ 的最小正整数解称为 $a$ 在模 $p$ 下的半阶，记为 ${\delta }_m^{-}(a)$。

Lemma. 若 $a^x\equiv -1(\mathrm{mod}p)$，则 $x$ 是 ${\delta }_m^{-}(a)$ 的整数倍。

$8$ 是 $2019$ 的半阶的奇数倍，因此 $2019$ 的半阶只能是 $8$。

Theorem. 若 ${\delta }_m^{-}(a)$ 存在，则 ${\delta }_m^{-}(a)=\frac{1}{2}{\delta }_m(a)$。

因此 ${\delta }_p(2019)=2\times 8=16$。${2019}^{16}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。

而根据 Fermat's Little Theorem 有 ${2019}^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，意味着 $16\mid p-1$，即 $p$ 满足 $16k+1$ 的格式。

同上，枚举 $p=17$ 不对，下一个 $p=97$ 就对了。

参考资料：https://www.bilibili.com/opus/636643461930418183

P15 空啦！

注意到 $OQ\perp XY$ 然后一个圆幂没了。