三角函数小题型

已知三角形一角及对边，求另外两边和的范围#

假设已知 $A$ 和 $a$。

这里一般角 $A$ 都是 $\frac{\pi }{3}$，所以代个 $\frac{\pi }{3}$ 算。

根据正弦定理有：

$$\begin{array}{}& \frac{a}{\sin A}=\frac{b+c}{\sin B+\sin C}\end{array}$$

所以转化为求 $(\sin B+\sin C)$ 的范围。

考虑 $B=\pi -A-C$，所以：

$$\begin{array}{rl}& \sin B+\sin C\\ =& \sin C+\sin (\pi -A-C)\\ =& \sin C+\sin (A+C)\\ =& \sin C+\sin A\cos C+\sin C\cos A\\ =& \sin C+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos C+\frac{1}{2}\sin C\\ =& \frac{\sqrt{3}}{2}\cos C+\frac{3}{2}\sin C\\ =& \sqrt{3}(\frac{1}{2}\cos C+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin C)\\ =& \sqrt{3}\sin (C+\frac{\pi }{6})\end{array}$$

这个东西的值域显然好算。

需要注意：

1. $b+c>a$
2. $C\in [0,\pi -A]$

然后应该就没了。

$$\text{本人因为这个东西在文化课考试中挂了两个小问，望周知。}$$