三角函数小题型
已知三角形一角及对边，求另外两边和的范围
假设已知 \(A\) 和 \(a\)。
这里一般角 \(A\) 都是 \(\frac{\pi}{3}\)，所以代个 \(\frac{\pi}{3}\) 算。
根据正弦定理有：
\[\frac{a}{\sin A} \nonumber = \frac{b + c}{\sin B + \sin C} \nonumber
\]
所以转化为求 \((\sin B + \sin C)\) 的范围。
考虑 \(B = \pi - A - C\)，所以：
\[\begin{align}
& \sin B + \sin C \nonumber \\
= & \sin C + \sin (\pi - A - C) \nonumber \\
= & \sin C + \sin (A + C) \nonumber \\
= & \sin C + \sin A \cos C + \sin C \cos A \nonumber \\
= & \sin C + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos C + \frac{1}{2} \sin C \nonumber \\
= & \frac{\sqrt{3}}{2} \cos C + \frac{3}{2} \sin C \nonumber \\
= & \sqrt{3} \left( \frac{1}{2} \cos C + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin C \right)\nonumber \\
= & \sqrt{3} \sin (C + \frac{\pi}{6})\nonumber \\
\end{align}
\]
这个东西的值域显然好算。
需要注意：
- \(b + c > a\)
- \(C \in \left[ 0 , \pi - A \right]\)
然后应该就没了。
\[\Huge \text{本人因为这个东西在文化课考试中挂了两个小问，望周知。}
\]
