CF1923 VP 记录

CF1923 VP 记录

AB 跳了。

C. Find B#

赛时切了。

题意#

如果存在一个整数数组 $b$ 满足以下条件，则认为一个整数数组 $a$ 是好的：

• $|b|=|a|$。
• $a_i\ne b_i$。
• $\sum b=\sum a$。
• $b_i>0$。
  给定一个数组 $c$，$q$ 次询问，要求判断 $c[l,r]$ 是不是好的数组。
  可以做到 $\mathrm{\Theta }(n+q)$ 的复杂度。

做法#

考虑一种构造方案，给所有数都减一，然后给最后一个数加上减去的总和。

这样显然是可行的。

但是可能有 $1$，就不能减了。

所以 $1$ 就得变成 $2$。

这样数字的总和可能就不够用了。

所以我们判断这种情况就好了。

所以我们的构造方案就是：把所有大于 $1$ 的数减一，然后把所有 $1$ 都至少加一。判断这样构造数字的总和够不够用即可，也就是区间中 $1$ 的个数是否小于等于区间的和减去区间长度。

D. Slimes#

赛时不会，跳了。

题意#

有 $n$ 个史莱姆一字排开。这些史莱姆按照从左至右的顺序编号为 $1$ 到 $n$，其中第 $i$ 个史莱姆的大小为 $a_i$。

每隔一秒会发生以下情况：恰好有一个 史莱姆会吃掉它的一个邻居，并且将它的大小增加被吃掉的邻居的大小。一个史莱姆只有在其大小严格大于邻居时才能吃掉这个邻居。如果没有史莱姆的大小严格大于其任意一个邻居，则该过程结束。

例如，假设 $n=5$，$a=[2,2,3,1,4]$。过程可能如下进行：

• 首先，第 $3$ 个史莱姆吃掉第 $2$ 个史莱姆。第 $3$ 个史莱姆的大小变为 $5$，第 $2$ 个史莱姆被吃掉。

• 接着，第 $3$ 个史莱姆吃掉第 $1$ 个史莱姆（由于第 $2$ 个史莱姆已被吃掉，它们相邻）。第 $3$ 个史莱姆的大小变为 $7$，第 $1$ 个史莱姆被吃掉。

• 然后，第 $5$ 个史莱姆吃掉第 $4$ 个史莱姆。第 $5$ 个史莱姆的大小变为 $5$，第 $4$ 个史莱姆被吃掉。

• 最后，第 $3$ 个史莱姆吃掉第 $5$ 个史莱姆（因为第 $4$ 个史莱姆已经被吃掉，它们相邻）。第 $3$ 个史莱姆的大小变为 $12$，第 $5$ 个史莱姆被吃掉。

对于每个史莱姆，计算在所有可能的过程演变中，该史莱姆被另一个史莱姆吃掉所需的最少秒数，如果不可能被吃掉，则报告“不可能”。

做法#

我们分别考虑每一个史莱姆 $i$。它一定是被某一个与它相邻的史莱姆区间合并起来吃掉了。

考虑这个区间的性质：

• 这个区间的和大于 $a_i$。
• 这个区间中的元素不是两两不同

这个东西是充分的，因为可以用区间最大值把区间中史莱姆全吃掉然后吃掉 $i$。

题意就是要求一个最小的这样的区间。显然区间长度关于是否可行有单调性，二分一下就行了。

判断和很好维护，直接维护一个前缀和即可。判断值是否全部相同，我们考虑数组 $b_i=[a_i=a_{i-1}]$ 的前缀和即可。

E. Count Paths#

题意#

给你一棵树，点有颜色，问有多少条路径满足：

• 起止节点颜色相同。
• 路径上没有与起止节点颜色相同的点。

做法#

直接点分治即可。

我赛时想的是启发式遍历子树，$O(n{\log }^{2}n)$，应该也能过。

就是先用线段树合并维护出子树中有贡献的颜色的出现次数，然后启发式地遍历大小较小的子树即可。可以理解为重链剖分然后遍历轻子树，因为轻子树大小总和是 $O(n\log n)$ 的，单次查询是 $\mathrm{\Theta }(\log n)$ 的，所以是 $O(n{\log }^{2}n)$ 的。

F. Shrink-Reverse#

赛时没切。

题意#

给你一个 01 串，你可以进行以下两种操作：

1. 交换两个位置（不用相邻）。
2. 去掉这个串的所有前导零，然后翻转整个串。

你要进行 $k$ 次操作，问这个串转成二进制后最小是多少。

做法#

性质1：不会进行超过两次 $2$ 操作。

这个性质显然。

性质2：不会进行超过 $1$ 次翻转操作。

考虑如果翻转一次之后 $1$ 都连在一起了，那就不用动了。否则我可以用这一次操作把最高位挪到后面，这样是比翻转一次优的，因为最高位都更低了。

然后我们分类讨论这两种情况。

如果不翻转，我们直接贪心把最高位往最后放即可。

如果翻转，我们考虑我们不会做。因为翻转前后都会进行交换操作。

考虑我们最后形成的串是什么。

实际上就是把串翻转之后，找到一段区间，这个区间满足以下性质：

• 这个区间的长度足够容纳所有的 $1$。
• 这个区间外的 $1$ 个数小于等于 $k-1$。
• 这个区间转换成二进制后最小。

我们先二分一个长度，check 这个长度的区间有没有满足前两个条件的区间。

有了长度之后，我们记录一下哪些区间是合法的，然后用后缀数组找到最小的即可。

感想#

这场感觉打得比较烂。

考得也不是比较偏门，主要是要多动脑子。