平衡树笔记——fhq
平衡树笔记——\(\text{fhq Treap}\)
普通的二叉搜索树
定义
- 空树是一棵二叉搜索树。
- 对于每一个点，如果它的左子树不为空，那么左子树上的所有点的权值要小于这个点的权值。
- 对于每一个点，如果它的右子树不为空，那么阿巴阿巴……
- 二叉搜索树的左右子树都是二叉搜索树。
直接 \(\text{fhq Treap}\)
为啥不先写一下普通二叉平衡树或者 \(\text{AVL}\) ？
去问了机房的几位大佬，也在洛谷发了篇帖子，都说这俩没啥用，推荐直接跳过这俩，先 \(\text{fhq}\) 或者 \(\text{Splay}\) 。
随机打乱爆杀一切毒瘤数据
进入正题……
基本操作： \(\text{split}\) 和 \(\text{merge}\) 。
我们需要 \(5\) 个基本信息：
- 左右子树编号
- 这个节点的值
- 索引（随机分配）
- 子树大小
没什么用的代码
struct node{
int l,r,val,key,size;
}fhq[maxn];
int cnt;
int newnode(int val){
fhq[++cnt].val=val;
fhq[cnt].size=1;
fhq[cnt].key=rand();
return cnt;
}
void update(int now){//更新大小
fhq[now].size=fhq[fhq[now].l].size+fhq[fhq[now].r].size+1;
}
分裂
按值分裂
- 给定一个 \(val\) ，把一棵树分裂成两棵树，其中一棵树全部 \(\le val\) ，另一棵全部 \(>val\) 给定的值。
按大小分裂（排名分裂）
- 阿巴阿巴……（同上），其中一棵树中所有元素的排名 \(\le val\) ，另一棵 \(>val\) 。
一般使用按值分裂。
void split(int now,int val,int &x,int &y){//权值分裂
if(!now)x=y=0;
else{
if(fhq[now].val<=val){
x=now;
split(fhq[now].r,val,fhq[now].r,y);//递归右儿子，看有没有可以放在左子树的节点
}
else{
y=now;
split(fhq[now].l,val,x,fhq[now].l);
}
update(now);
}
}
void split(int now,int val,int &x,int &y){//排名分裂
if(!now)x=y=0;
else{
if(val<=fhq[fhq[now].l].size){
y=now;
split(fhq[now].l,val,x,fhq[now].r);
}
else{
x=now;
split(fhq[now].r,val-fhq[fhq[now].l].size-1,fhq[now].r,y);
}
update(now);
}
}
合并
给 \(x\) 和 \(y\) 两棵树， \(x\) 树中的值全部小于 \(y\) 的，并且合并出的树依旧满足 \(\text{Treap}\) 的性质。
int merge(int x,int y){
if(!x||!y)return x+y;
if(fhq[x].key>fhq[y].key){
fhq[x].r=merge(fhq[x].r,y);
update(x);
return x;
}
else{
fhq[y].l=merge(x,fhq[y].l);
update(y);
return y;
}
}
那这俩操作有啥用吗？
插入
我们设要插入的值为 \(val\) 。
- 按 \(val\) 分裂成 \(x\) 和 \(y\) 。
- 合并 \(x\) 和新节点和 \(y\) 。
- 没了……
稍微具体一点？
把 \(x\) 和新节点合并一下，然后用把这棵合并出来的新树和 \(y\) 合并一下。
void ins(int val){
int x,y;
split(root,val,x,y);
root=merge(merge(x,newnode(val)),y);
}
删除
稍微有一点点麻烦，需要四步 \((\ddot{\smallsmile})\)
- 按 \(val\) 把原树分成 \(x\) 和 \(z\) 两部分
- 按 \(val-1\) 把 \(x\) 分裂成 \(x\) 和 \(y\) ，此时 \(y\) 上的所有节点一定等于 \(val\) 。
- 于是，我们把 \(y\) 的根去掉，也就是令 \(y=\operatorname{merge}(l[y],r[y])\) 。
- 最后，合并 \(x\) 、 \(y\) 和 \(z\) 即可。
void del(int val){
int x,y,z;
split(root,val,x,z);
split(x,val-1,x,y);
y=merge(fhq[y].l,fhq[y].r);
root=merge(merge(x,y),z);
}
查询排名
- 按照 \(val-1\) 分成 \(x\) 和 \(y\)
- 排名就是 \(sz[x]+1\)
- 合并 \(x\) 和 \(y\)
int getrank(int val){
int x,y,ans;
split(root,val-1,x,y);
ans=fhq[x].size+1;
root=merge(x,y);
return ans;
}
查询排名对应的数
这里是非递归写法
int getnum(int rank){
int now=root;
while(now){
if(fhq[fhq[now].l].size+1==rank){
break;
}
else if(fhq[fhq[now].l].size>=rank){
now=fhq[now].l;
}
else{
rank-=fhq[fhq[now].l].size+1;
now=fhq[now].r;
}
}
return fhq[now].val;
}
前驱/后继
- 前驱
- 按照 \(val-1\) 分成 \(x\) 和 \(y\) ，则 \(x\) 里面最右的就是 \(val\) 的前驱
- 后继
- 按照 \(val\) 分成 \(x\) 和 \(y\) ，则 \(y\) 里面最左的就是 \(val\) 的后继
int pre(int val){
int x,y;
split(root,val-1,x,y);
int now=x;
while(fhq[now].r)now=fhq[now].r;
int ans=fhq[now].val;
root=merge(x,y);
return ans;
}
int nxt(int val){
int x,y;
split(root,val,x,y);
int now=y;
while(fhq[now].l)now=fhq[now].l;
int ans=fhq[now].val;
root=merge(x,y);
return ans;
}
然后我们来看题……
例题 \(1\)
P3369 【模板】普通平衡树
题意
就是板子，没啥好说的
做法
直接放代码吧（也就是把上面那一堆连起来）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int n;
struct node{
int l,r,val,key,size;
}fhq[maxn];
int cnt,root;
int newnode(int val){
fhq[++cnt].val=val;
fhq[cnt].size=1;
fhq[cnt].key=rand();
return cnt;
}
void update(int now){
fhq[now].size=fhq[fhq[now].l].size+fhq[fhq[now].r].size+1;
}
void split(int now,int val,int &x,int &y){
if(!now)x=y=0;
else{
if(fhq[now].val<=val){
x=now;
split(fhq[now].r,val,fhq[now].r,y);
}
else{
y=now;
split(fhq[now].l,val,x,fhq[now].l);
}
update(now);
}
}
int merge(int x,int y){
if(!x||!y)return x+y;
if(fhq[x].key>fhq[y].key){
fhq[x].r=merge(fhq[x].r,y);
update(x);
return x;
}
else{
fhq[y].l=merge(x,fhq[y].l);
update(y);
return y;
}
}
void ins(int val){
int x,y;
split(root,val,x,y);
root=merge(merge(x,newnode(val)),y);
}
void del(int val){
int x,y,z;
split(root,val,x,z);
split(x,val-1,x,y);
y=merge(fhq[y].l,fhq[y].r);
root=merge(merge(x,y),z);
}
int getrank(int val){
int x,y,ans;
split(root,val-1,x,y);
ans=fhq[x].size+1;
root=merge(x,y);
return ans;
}
int getnum(int rank){
int now=root;
while(now){
if(fhq[fhq[now].l].size+1==rank){
break;
}
else if(fhq[fhq[now].l].size>=rank){
now=fhq[now].l;
}
else{
rank-=fhq[fhq[now].l].size+1;
now=fhq[now].r;
}
}
return fhq[now].val;
}
int pre(int val){
int x,y;
split(root,val-1,x,y);
int now=x;
while(fhq[now].r)now=fhq[now].r;
int ans=fhq[now].val;
root=merge(x,y);
return ans;
}
int nxt(int val){
int x,y;
split(root,val,x,y);
int now=y;
while(fhq[now].l)now=fhq[now].l;
int ans=fhq[now].val;
root=merge(x,y);
return ans;
}
int main(){
srand(time(0));
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
int opt,x;
scanf("%d%d",&opt,&x);
if(opt==1)ins(x);
if(opt==2)del(x);
if(opt==3)cout<<getrank(x)<<endl;
if(opt==4)cout<<getnum(x)<<endl;
if(opt==5)cout<<pre(x)<<endl;
if(opt==6)cout<<nxt(x)<<endl;
}
return 0;
}
例题 \(2\)
P3850 [TJOI2007]书架
题意
- 给定一排书，要求支持两种操作
- 插入（初始 \(n\) 次 \(+\) 后续 \(m\) 次）
- 查询（\(q\) 次）
- \(n\le 200,m\le10^5,q\le10^4\)
做法
- 显然是要在 \(\log n\) 的时间内完成单次操作。
- 我们考虑用 \(\text{fhq Treap}\) 维护。
- 为啥呢？
- 因为分裂、合并不会影响树内部元素的相对位置，所以我们可以直接用 \(\text{fhq Treap}\) 实现。
- 这里要用到我们一般不会用到的排名分裂。\((???)\)
- 考虑插入操作：
- 设我们要插入到 \(val\) 位置
- 我们按照 \(val\) 排名分裂成 \(x\) 和 \(y\) 两棵树
- 合并 \(x\) 和 \(\operatorname{newnode}\) 到 \(x\) ，再合并 \(x\) 和 \(y\) 即可
- 考虑查询：
- 设要查询位置为 \(val\) 的值
- 按照 \(val\) 把原树分裂成 \(x\) 和 \(y\)
- 按照 \(1\) 把 \(y\) 分裂成 \(y\) 和 \(z\) ，这样 \(y\) 自己就出来啦
- 要求的值就是 \(y\) 储存的值啦
- 最后合并 \(x\) 和 \(y\) 和 \(z\) 到 \(root\) 即可。
\(\textit{Talk is cheap. Show me the code.}\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
struct node{
int l,r,key,size;
string s;
}fhq[maxn];
int cnt,root;
int n,m,q;
int newnode(string s){
fhq[++cnt].size=1;
fhq[cnt].key=rand();
fhq[cnt].s=s;
return cnt;
}
void update(int now){
fhq[now].size=fhq[fhq[now].l].size+fhq[fhq[now].r].size+1;
}
void split(int now,int val,int &x,int &y){//排名分裂
if(!now)x=y=0;
else{
if(val<=fhq[fhq[now].l].size){
y=now;
split(fhq[now].l,val,x,fhq[now].l);
}
else{
x=now;
split(fhq[now].r,val-fhq[fhq[now].l].size-1,fhq[now].r,y);
}
update(now);
}
}
int merge(int x,int y){
if(!x||!y)return x+y;
if(fhq[x].key>fhq[y].key){
fhq[x].r=merge(fhq[x].r,y);
update(x);
return x;
}
else{
fhq[y].l=merge(x,fhq[y].l);
update(y);
return y;
}
}
void ins(int val,string s){
int x,y;
split(root,val,x,y);
root=merge(merge(x,newnode(s)),y);
}
string get(int val){
int x,y,z;
split(root,val,x,y);
split(y,1,y,z);
string ans=fhq[y].s;
merge(merge(x,y),z);
return ans;
}
int main(){
srand(time(0));
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
string tmp;
cin>>tmp;
ins(i-1,tmp);
}
scanf("%d",&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
string tmp;
int pos;
cin>>tmp>>pos;
ins(pos,tmp);
}
scanf("%d",&q);
for(int i=1;i<=q;i++){
int tmp;
scanf("%d",&tmp);
cout<<get(tmp)<<endl;
}
return 0;
}
例题 \(3\)
P3224 [HNOI2012]永无乡
题意
- 两种操作
- 加入一条边
- 查询与 \(y\) 联通的点中 \(p_i\) 第 \(k\) 小的点的编号
做法
- 我们考虑 \(\text{fhq Treap}\) 的合并。
- 如果采取启发式合并，那么阿巴阿巴……，每个点最多被合并 \(\log n\) 次。
- 那么怎么完成单次合并呢捏？
- 对于每次加边，先判断这两个点是否在同一连通块中，如果是，直接跳过。
- 如果不是，那么考虑合并这两棵树。
- 我们设这两棵树编号为 \(x\) 和 \(y\) 。
- 遍历 \(x\) 中的所有节点，然后把 \(x\) 中的点一个一个 \(\operatorname{insert}\) 到 \(y\) 里面即可。
- 注意事项：
- 只要开一个树的数组即可
- 加点、预处理时与正常的操作不同
\(\textit{Talk is cheap. Show me the code.}\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int n,m,q;
int p[maxn];
int mp[maxn];
int fa[maxn];
struct node{
int l,r,val,key,size;
};
node fhq[maxn];
int root,cnt;
int find(int now){//查询并查集
if(fa[now]==now)return now;
return fa[now]=find(fa[now]);
}
void update(int now){
fhq[now].size=fhq[fhq[now].l].size+fhq[fhq[now].r].size+1;
}
void split(int now,int val,int &x,int &y){//普普通通的分裂
if(!now)x=y=0;
else{
if(fhq[now].val<=val){
x=now;
split(fhq[now].r,val,fhq[now].r,y);
}
else{
y=now;
split(fhq[now].l,val,x,fhq[now].l);
}
update(now);
}
}
int merge(int x,int y){//普普通通的合并
if(!x||!y)return x+y;
if(fhq[x].key>fhq[y].key){
fhq[x].r=merge(fhq[x].r,y);
update(x);
return x;
}
else{
fhq[y].l=merge(x,fhq[y].l);
update(y);
return y;
}
}
void ins(int &pos,int now){//在pos位置插入now
int x,y;
int val=p[now];
split(pos,val,x,y);
pos=merge(merge(x,now),y);
}
int get(int pos,int rank){//查询
int now=pos;
while(now){
if(fhq[fhq[now].l].size+1==rank){
break;
}
else if(fhq[fhq[now].l].size+1>=rank){
now=fhq[now].l;
}
else{
rank-=fhq[fhq[now].l].size+1;
now=fhq[now].r;
}
}
if(now)return mp[fhq[now].val];
return -1;
}
int size(int pos){//查询大小
return fhq[find(pos)].size;
}
void dfs(int x,int &y){//遍历x，加入y
if(!x)return;
dfs(fhq[x].l,y);
dfs(fhq[x].r,y);
fhq[x].l=fhq[x].r=0;
ins(y,x);
}
int MERGE(int x,int y){//合并两棵树
if(size(x)>size(y))swap(x,y);
dfs(x,y);
return y;
}
void print(int now){//输出，调试用
if(!now)return;
print(fhq[now].l);
cout<<fhq[now].val<<' ';
print(fhq[now].r);
}
int main(){
srand(time(0));
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&p[i]);
for(int i=1;i<=n;i++){//树的初始化
fa[i]=i;
fhq[i].size=1;
fhq[i].l=fhq[i].r=0;
fhq[i].key=rand();
fhq[i].val=p[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++)mp[p[i]]=i;
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
if(find(u)==find(v))continue;
int tmp=MERGE(find(u),find(v));
fa[find(u)]=fa[find(v)]=fa[tmp]=tmp;
}
scanf("%d",&q);
for(int i=1;i<=q;i++){
char opt;
int x,y;
cin>>opt;
scanf("%d%d",&x,&y);
if(opt=='B'){
if(find(x)==find(y))continue;
int tmp=MERGE(find(x),find(y));
fa[find(x)]=fa[find(y)]=fa[tmp]=tmp;
}
else{
printf("%d\n",get(find(x),y));
}
}
return 0;
}
\[\Huge\textit{The End.}
\]
