平衡树笔记——fhq

平衡树笔记—— $fhq Treap$

普通的二叉搜索树#

定义#

空树是一棵二叉搜索树。
对于每一个点，如果它的左子树不为空，那么左子树上的所有点的权值要小于这个点的权值。
对于每一个点，如果它的右子树不为空，那么阿巴阿巴……
二叉搜索树的左右子树都是二叉搜索树。

直接 $fhq Treap$ #

为啥不先写一下普通二叉平衡树或者 $AVL$ ？#

去问了机房的几位大佬，也在洛谷发了篇帖子，都说这俩没啥用，推荐直接跳过这俩，先 $fhq$ 或者 $Splay$ 。

~~随机打乱爆杀一切毒瘤数据~~

进入正题……#

基本操作： $split$ 和 $merge$ 。

我们需要 $5$ 个基本信息：

左右子树编号
这个节点的值
索引（随机分配）
子树大小

没什么用的代码

struct node{
	int l,r,val,key,size;
}fhq[maxn];
int cnt;
int newnode(int val){
	fhq[++cnt].val=val;
	fhq[cnt].size=1;
	fhq[cnt].key=rand();
	return cnt;
}
void update(int now){//更新大小
	fhq[now].size=fhq[fhq[now].l].size+fhq[fhq[now].r].size+1;
}

分裂#

按值分裂

给定一个 $v a l$ ，把一棵树分裂成两棵树，其中一棵树全部 $\leq v a l$ ，另一棵全部 $> v a l$ 给定的值。

按大小分裂（排名分裂）

阿巴阿巴……（同上），其中一棵树中所有元素的排名 $\leq v a l$ ，另一棵 $> v a l$ 。

一般使用按值分裂。

void split(int now,int val,int &x,int &y){//权值分裂
	if(!now)x=y=0;
	else{
		if(fhq[now].val<=val){
			x=now;
			split(fhq[now].r,val,fhq[now].r,y);//递归右儿子，看有没有可以放在左子树的节点
		}
		else{
			y=now;
			split(fhq[now].l,val,x,fhq[now].l);
		}
		update(now);
	}
}

void split(int now,int val,int &x,int &y){//排名分裂
    if(!now)x=y=0;
    else{
        if(val<=fhq[fhq[now].l].size){
			y=now;
			split(fhq[now].l,val,x,fhq[now].r);
		}
		else{
			x=now;
			split(fhq[now].r,val-fhq[fhq[now].l].size-1,fhq[now].r,y);
		}
		update(now);
    }
}

合并#

给 $x$ 和 $y$ 两棵树， $x$ 树中的值全部小于 $y$ 的，并且合并出的树依旧满足 $Treap$ 的性质。

int merge(int x,int y){
	if(!x||!y)return x+y;
	if(fhq[x].key>fhq[y].key){
		fhq[x].r=merge(fhq[x].r,y);
		update(x);
		return x;
	}
	else{
		fhq[y].l=merge(x,fhq[y].l);
		update(y);
		return y;
	}
}

那这俩操作有啥用吗？#

插入#

我们设要插入的值为 $v a l$ 。

按 $v a l$ 分裂成 $x$ 和 $y$ 。
合并 $x$ 和新节点和 $y$ 。
没了……

稍微具体一点？

把 $x$ 和新节点合并一下，然后用把这棵合并出来的新树和 $y$ 合并一下。

void ins(int val){
	int x,y;
	split(root,val,x,y);
	root=merge(merge(x,newnode(val)),y);
}

删除#

稍微有一点点麻烦，需要四步 $(\ddot{⌣})$

按 $v a l$ 把原树分成 $x$ 和 $z$ 两部分
按 $v a l - 1$ 把 $x$ 分裂成 $x$ 和 $y$ ，此时 $y$ 上的所有节点一定等于 $v a l$ 。
于是，我们把 $y$ 的根去掉，也就是令 $y = merge (l [y], r [y])$ 。
最后，合并 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 即可。

void del(int val){
	int x,y,z;
	split(root,val,x,z);
	split(x,val-1,x,y);
	y=merge(fhq[y].l,fhq[y].r);
	root=merge(merge(x,y),z);
}

查询排名#

按照 $v a l - 1$ 分成 $x$ 和 $y$
排名就是 $s z [x] + 1$
合并 $x$ 和 $y$

int getrank(int val){
	int x,y,ans;
	split(root,val-1,x,y);
	ans=fhq[x].size+1;
	root=merge(x,y);
	return ans;
}

查询排名对应的数#

这里是非递归写法

int getnum(int rank){
	int now=root;
	while(now){
		if(fhq[fhq[now].l].size+1==rank){
			break;
		}
		else if(fhq[fhq[now].l].size>=rank){
			now=fhq[now].l;
		}
		else{
			rank-=fhq[fhq[now].l].size+1;
			now=fhq[now].r;
		}
	}
	return fhq[now].val;
}

前驱/后继#

前驱
- 按照 $v a l - 1$ 分成 $x$ 和 $y$ ，则 $x$ 里面最右的就是 $v a l$ 的前驱
后继
- 按照 $v a l$ 分成 $x$ 和 $y$ ，则 $y$ 里面最左的就是 $v a l$ 的后继

int pre(int val){
	int x,y;
	split(root,val-1,x,y);
	int now=x;
	while(fhq[now].r)now=fhq[now].r;
	int ans=fhq[now].val;
	root=merge(x,y);
	return ans;
}
int nxt(int val){
	int x,y;
	split(root,val,x,y);
	int now=y;
	while(fhq[now].l)now=fhq[now].l;
	int ans=fhq[now].val;
	root=merge(x,y);
	return ans;
}

然后我们来看题……

例题 $1$ #

P3369 【模板】普通平衡树 #

题意#

就是板子，没啥好说的

做法#

直接放代码吧（也就是把上面那一堆连起来）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int n;
struct node{
	int l,r,val,key,size;
}fhq[maxn];
int cnt,root;
int newnode(int val){
	fhq[++cnt].val=val;
	fhq[cnt].size=1;
	fhq[cnt].key=rand();
	return cnt;
}
void update(int now){
	fhq[now].size=fhq[fhq[now].l].size+fhq[fhq[now].r].size+1;
}
void split(int now,int val,int &x,int &y){
	if(!now)x=y=0;
	else{
		if(fhq[now].val<=val){
			x=now;
			split(fhq[now].r,val,fhq[now].r,y);
		}
		else{
			y=now;
			split(fhq[now].l,val,x,fhq[now].l);
		}
		update(now);
	}
}
int merge(int x,int y){
	if(!x||!y)return x+y;
	if(fhq[x].key>fhq[y].key){
		fhq[x].r=merge(fhq[x].r,y);
		update(x);
		return x;
	}
	else{
		fhq[y].l=merge(x,fhq[y].l);
		update(y);
		return y;
	}
}
void ins(int val){
	int x,y;
	split(root,val,x,y);
	root=merge(merge(x,newnode(val)),y);
}
void del(int val){
	int x,y,z;
	split(root,val,x,z);
	split(x,val-1,x,y);
	y=merge(fhq[y].l,fhq[y].r);
	root=merge(merge(x,y),z);
}
int getrank(int val){
	int x,y,ans;
	split(root,val-1,x,y);
	ans=fhq[x].size+1;
	root=merge(x,y);
	return ans;
}
int getnum(int rank){
	int now=root;
	while(now){
		if(fhq[fhq[now].l].size+1==rank){
			break;
		}
		else if(fhq[fhq[now].l].size>=rank){
			now=fhq[now].l;
		}
		else{
			rank-=fhq[fhq[now].l].size+1;
			now=fhq[now].r;
		}
	}
	return fhq[now].val;
}
int pre(int val){
	int x,y;
	split(root,val-1,x,y);
	int now=x;
	while(fhq[now].r)now=fhq[now].r;
	int ans=fhq[now].val;
	root=merge(x,y);
	return ans;
}
int nxt(int val){
	int x,y;
	split(root,val,x,y);
	int now=y;
	while(fhq[now].l)now=fhq[now].l;
	int ans=fhq[now].val;
	root=merge(x,y);
	return ans;
}
int main(){
	srand(time(0));
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int opt,x;
		scanf("%d%d",&opt,&x);
		if(opt==1)ins(x);
		if(opt==2)del(x);
		if(opt==3)cout<<getrank(x)<<endl;
		if(opt==4)cout<<getnum(x)<<endl;
		if(opt==5)cout<<pre(x)<<endl;
		if(opt==6)cout<<nxt(x)<<endl;
	}
	return 0;
}

例题 $2$ #

P3850 [TJOI2007]书架 #

题意#

给定一排书，要求支持两种操作
1. 插入（初始 $n$ 次 $+$ 后续 $m$ 次）
2. 查询（ $q$ 次）
$n \leq 200, m \leq 10^{5}, q \leq 10^{4}$

做法#

显然是要在 $\log n$ 的时间内完成单次操作。
我们考虑用 $fhq Treap$ 维护。
为啥呢？
因为分裂、合并不会影响树内部元素的相对位置，所以我们可以直接用 $fhq Treap$ 实现。
这里要用到我们一般不会用到的排名分裂。 $(? ? ?)$
考虑插入操作：
- 设我们要插入到 $v a l$ 位置
- 我们按照 $v a l$ 排名分裂成 $x$ 和 $y$ 两棵树
- 合并 $x$ 和 $newnode$ 到 $x$ ，再合并 $x$ 和 $y$ 即可
考虑查询：
- 设要查询位置为 $v a l$ 的值
- 按照 $v a l$ 把原树分裂成 $x$ 和 $y$
- 按照 $1$ 把 $y$ 分裂成 $y$ 和 $z$ ，这样 $y$ 自己就出来啦
- 要求的值就是 $y$ 储存的值啦
- 最后合并 $x$ 和 $y$ 和 $z$ 到 $r o o t$ 即可。

$Talk is cheap. Show me the code.$ #

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
struct node{
	int l,r,key,size;
	string s;
}fhq[maxn];
int cnt,root;
int n,m,q;
int newnode(string s){
	fhq[++cnt].size=1;
	fhq[cnt].key=rand();
	fhq[cnt].s=s;
	return cnt;
}
void update(int now){
	fhq[now].size=fhq[fhq[now].l].size+fhq[fhq[now].r].size+1;
}
void split(int now,int val,int &x,int &y){//排名分裂
    if(!now)x=y=0;
    else{
        if(val<=fhq[fhq[now].l].size){
			y=now;
			split(fhq[now].l,val,x,fhq[now].l);
		}
		else{
			x=now;
			split(fhq[now].r,val-fhq[fhq[now].l].size-1,fhq[now].r,y);
		}
		update(now);
    }
}
int merge(int x,int y){
	if(!x||!y)return x+y;
	if(fhq[x].key>fhq[y].key){
		fhq[x].r=merge(fhq[x].r,y);
		update(x);
		return x;
	}
	else{
		fhq[y].l=merge(x,fhq[y].l);
		update(y);
		return y;
	}
}
void ins(int val,string s){
	int x,y;
	split(root,val,x,y);
	root=merge(merge(x,newnode(s)),y);
}
string get(int val){
	int x,y,z;
	split(root,val,x,y);
	split(y,1,y,z);
	string ans=fhq[y].s;
	merge(merge(x,y),z);
	return ans;
}
int main(){
	srand(time(0));
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		string tmp;
		cin>>tmp;
		ins(i-1,tmp);
	}
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		string tmp;
		int pos;
		cin>>tmp>>pos;
		ins(pos,tmp);
	}
	scanf("%d",&q);
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int tmp;
		scanf("%d",&tmp);
		cout<<get(tmp)<<endl;
	}
	return 0;
}

例题 $3$ #

P3224 [HNOI2012]永无乡 #

题意#

两种操作
- 加入一条边
- 查询与 $y$ 联通的点中 $p_{i}$ 第 $k$ 小的点的编号

做法#

我们考虑 $fhq Treap$ 的合并。
如果采取启发式合并，那么阿巴阿巴……，每个点最多被合并 $\log n$ 次。
那么怎么完成单次合并呢捏？
对于每次加边，先判断这两个点是否在同一连通块中，如果是，直接跳过。
如果不是，那么考虑合并这两棵树。
我们设这两棵树编号为 $x$ 和 $y$ 。
- 遍历 $x$ 中的所有节点，然后把 $x$ 中的点一个一个 $insert$ 到 $y$ 里面即可。
注意事项：
- 只要开一个树的数组即可
- 加点、预处理时与正常的操作不同

$Talk is cheap. Show me the code.$ #

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int n,m,q;
int p[maxn];
int mp[maxn];
int fa[maxn];
struct node{
	int l,r,val,key,size;
};
node fhq[maxn];
int root,cnt;
int find(int now){//查询并查集
	if(fa[now]==now)return now;
	return fa[now]=find(fa[now]);
}
void update(int now){
	fhq[now].size=fhq[fhq[now].l].size+fhq[fhq[now].r].size+1;
}
void split(int now,int val,int &x,int &y){//普普通通的分裂
	if(!now)x=y=0;
	else{
		if(fhq[now].val<=val){
			x=now;
			split(fhq[now].r,val,fhq[now].r,y);
		}
		else{
			y=now;
			split(fhq[now].l,val,x,fhq[now].l);
		}
		update(now);
	}
}
int merge(int x,int y){//普普通通的合并
	if(!x||!y)return x+y;
	if(fhq[x].key>fhq[y].key){
		fhq[x].r=merge(fhq[x].r,y);
		update(x);
		return x;
	}
	else{
		fhq[y].l=merge(x,fhq[y].l);
		update(y);
		return y;
	}
}
void ins(int &pos,int now){//在pos位置插入now
	int x,y;
	int val=p[now];
	split(pos,val,x,y);
	pos=merge(merge(x,now),y);
}
int get(int pos,int rank){//查询
	int now=pos;
	while(now){
		if(fhq[fhq[now].l].size+1==rank){
			break;
		}
		else if(fhq[fhq[now].l].size+1>=rank){
			now=fhq[now].l;
		}
		else{
			rank-=fhq[fhq[now].l].size+1;
			now=fhq[now].r;
		}
	}
	if(now)return mp[fhq[now].val];
	return -1;
}
int size(int pos){//查询大小
	return fhq[find(pos)].size;
}
void dfs(int x,int &y){//遍历x，加入y
	if(!x)return;
	dfs(fhq[x].l,y);
	dfs(fhq[x].r,y);
	fhq[x].l=fhq[x].r=0;
	ins(y,x);
}
int MERGE(int x,int y){//合并两棵树
	if(size(x)>size(y))swap(x,y);
	dfs(x,y);
	return y;
}
void print(int now){//输出，调试用
	if(!now)return;
	print(fhq[now].l);
	cout<<fhq[now].val<<' ';
	print(fhq[now].r);
}
int main(){
	srand(time(0));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&p[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){//树的初始化
		fa[i]=i;
		fhq[i].size=1;
		fhq[i].l=fhq[i].r=0;
		fhq[i].key=rand();
		fhq[i].val=p[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)mp[p[i]]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		if(find(u)==find(v))continue;
		int tmp=MERGE(find(u),find(v));
		fa[find(u)]=fa[find(v)]=fa[tmp]=tmp;
	}
	scanf("%d",&q);
	for(int i=1;i<=q;i++){
		char opt;
		int x,y;
		cin>>opt;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if(opt=='B'){
			if(find(x)==find(y))continue;
			int tmp=MERGE(find(x),find(y));
			fa[find(x)]=fa[find(y)]=fa[tmp]=tmp;
		}
		else{
			printf("%d\n",get(find(x),y));
		}
	}
	return 0;
}

The End.

posted @ 2023-10-19 06:54 洛谷Augury 阅读(63) 评论(0) 编辑收藏举报

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