分块

分块

特点：一种优雅的暴力，大段维护，小段朴素。

假设我们有一个长度为 $n$ 的数组 $a$。

需要我们维护区间修改和区间查询等操作。

那么朴素算法就不用说了，如果是万能的线段树还行。但是线段树码量过大，容易出bug。

这个时候就得用到分块的思想。

分块思想：

对于需要维护的数组 $a$，将其分为 $num$ 块，每一块块长为 $block$，然后对每一块进行维护，最后求解。

那么这个 $block$ 是多少好呢？

根据均值不等式，当 $\frac{n}{block}=block$，即当 $block=\sqrt{n}$ 时最优，单次修改为 $O(\sqrt{n})$。

显然有些情况下，$n\mod block \neq 0$，即分完会有剩下的元素。那么很显然可以将块数 $+1$，就当作是新建一块。

对于每个块的维护

可以建立一个结构体来存放每一个快。

内存块的左端点、右端点、区间和。如果题目中有区间修改，那么类似的，放一个懒标记进去，表示该区间所有数都要加上多少。

对于第 $i$ 块 $(\forall\ 1\le i\le num)$：

左端点 $=(i-1)\lfloor{\sqrt{n}}\rfloor+1$，右端点是 $\min (i\lfloor{\sqrt{n}}\rfloor,n)$。因为有可能 $n\mod block \neq 0$。

下面就是一个例子：

其中：

$$(1\le i \le n) \\ l_i=\left\{1,5,9,13,17\right\} \\ r_i=\left\{4,8,12,16,17\right\}$$

对于每个下标 $i$，用 $belong_i$ 表示第 $i$ 号元素属于第 $belong_i$ 块。

操作维护

设 $l,r$ 分别是增加区间的左右端点，增加 $d$。

若 $belong_l=belong_r$，即在同一个块中：

将所有的 $a_i$ 加上 $d$，再将 $sum_i\leftarrow sum_i+d(r-l+1)$。（小段朴素）

否则，设 $belong_l=q,belong_r=p$：

对于区间 $[l,r_q]$​​，用同一个块中的方法进行维护。

即维护下图的区间 $[2,4]$。

同理，也可以维护区间 $[l_p,r]$，即上图区间 $[13,14]$。

现在我们已经解决了区间 $[2,4]$ 和 $[13,14]$，还剩下在两个区间中间的区间 $[5,8]$ 和 $[9,12]$。

显然 $[5,8]$ 和 $[9,12]$ 是两个块，就将块的懒标记全部加上 $d$ 即可。

若不用懒标记，像小区间那样的朴素维护，很容易时间就超了。

代码部分

例题：P3374 【模板】树状数组 1。

一个块的元素：

struct NODE{
		ljl l,r,sum;
	}node[N];

建立块：

void build()
	{
		block=floor(sqrt(n));
		num=n/block;
		if(n%block!=0) ++num;//不能分为整块
		for(ljl i=1;i<=num;++i)
		{
			node[i].l=(i-1)*block+1,node[i].r=min(i*block,n);//公式已说
			for(ljl j=node[i].l;j<=node[i].r;++j)
				node[i].sum+=a[j];
		}
//		for(ljl i=1;i<=num;++i)
//			cout<<node[i].l<<' '<<node[i].r<<" "<<node[i].sum<<'\n';
		for(ljl i=1;i<=n;++i)
			belong[i]=(i-1)/block+1;
		return;
	}

单点修改：

void update(ljl x,ljl y)
	{
		a[x]+=y;
		node[belong[x]].sum+=y;
		return;
	}

区间查询：

ljl query(ljl l,ljl r)
	{
		ljl q=belong[l],p=belong[r];
		if(q==p)
		{
			ljl ans=0;
			for(ljl i=l;i<=r;++i)
				ans+=a[i];
			return ans;
		}
		ljl ans=0;
		for(ljl i=l;i<=node[q].r;++i)
			ans+=a[i];
		for(ljl i=q+1;i<=p-1;++i)
			ans+=node[i].sum;
		for(ljl i=node[p].l;i<=r;++i)
			ans+=a[i];
		return ans;
	}

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ljl long long
const ljl N=5e5+5;
ljl n,m,a[N],block;
namespace BLOCK{
	struct NODE{
		ljl l,r,sum;
	}node[N];
	ljl belong[N],num;
	void build()
	{
		block=floor(sqrt(n));
		num=n/block;
		if(n%block!=0) ++num;
		for(ljl i=1;i<=num;++i)
		{
			node[i].l=(i-1)*block+1,node[i].r=min(i*block,n);
			for(ljl j=node[i].l;j<=node[i].r;++j)
				node[i].sum+=a[j];
		}
//		for(ljl i=1;i<=num;++i)
//			cout<<node[i].l<<' '<<node[i].r<<" "<<node[i].sum<<'\n';
		for(ljl i=1;i<=n;++i)
			belong[i]=(i-1)/block+1;
		return;
	}
	void update(ljl x,ljl y)
	{
		a[x]+=y;
		node[belong[x]].sum+=y;
		return;
	}
	ljl query(ljl l,ljl r)
	{
		ljl q=belong[l],p=belong[r];
		if(q==p)
		{
			ljl ans=0;
			for(ljl i=l;i<=r;++i)
				ans+=a[i];
			return ans;
		}
		ljl ans=0;
		for(ljl i=l;i<=node[q].r;++i)
			ans+=a[i];
		for(ljl i=q+1;i<=p-1;++i)
			ans+=node[i].sum;
		for(ljl i=node[p].l;i<=r;++i)
			ans+=a[i];
		return ans;
	}
}
using namespace BLOCK;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n>>m;
	for(ljl i=1;i<=n;++i)
		cin>>a[i];
	build();
//	for(ljl i=1;i<=n;++i)
//		cout<<belong[i]<<' ';
//	cout<<"\n";
	while(m--)
	{
		ljl op,x,y;
		cin>>op>>x>>y;
		if(op==1)
			update(x,y);
		else
		{
			cout<<query(x,y)<<'\n';
		}
//		cout<<"--------------\n";
//		for(ljl i=1;i<=num;++i)
//			cout<<node[i].l<<" "<<node[i].r<<" "<<node[i].sum<<'\n';
//		cout<<"----------------\n";
	}
	return 0;
}

例题二：P3372 【模板】线段树 1。

因为上一题仅仅是单点修改，过于简单。

所以上强度：

本题需要区间修改和区间查询，具体看代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ljl long long
const ljl N=1e5+5,BLOCKS=1e3+5;
ljl n,a[N],q,l,r,v;
namespace BLOCK{
	struct NODE{
		ljl l,r,sum,lz;
	}node[BLOCKS];
	ljl belong[N],num,block;
	void build()//建块
	{
		block=(ljl)sqrt(n);
		num=n/block;
		if(n%block)++num;
		for(ljl i=1;i<=num;++i)
		{
			node[i].l=(i-1)*block+1,node[i].r=min(i*block,n);
			for(ljl j=node[i].l;j<=node[i].r;++j)
				node[i].sum+=a[j];
		}
		for(ljl i=1;i<=n;++i)
			belong[i]=(i-1)/block+1;
		return;
	}
	void change_part(ljl id,ljl l,ljl r)//对于是一个块内的区间修改
	{
		for(ljl i=l;i<=r;++i)
			a[i]+=v;
		node[id].sum+=v*(r-l+1);
	}
	void change(ljl l,ljl r)//询问的区间修改
	{
		ljl q=belong[l],p=belong[r];
		if(q==p)
		{
			change_part(q,l,r);return;
		}
		change_part(q,l,node[q].r);//按照上文讲过的方法实现即可
		change_part(p,node[p].l,r);
		for(ljl i=q+1;i<p;++i)
			node[i].lz+=v;//这里是懒标记
		return;
	}
	ljl query_part(ljl id,ljl l,ljl r)
	{
		ljl ans=0;
		for(ljl i=l;i<=r;++i)
			ans=ans+(a[i]+node[id].lz);
		return ans;
	}
	ljl query(ljl l,ljl r)
	{
		ljl q=belong[l],p=belong[r];
		if(q==p)
			return query_part(q,l,r);
		ljl ans=0;
		ans+=query_part(q,l,node[q].r);
		ans+=query_part(p,node[p].l,r);
		for(ljl i=q+1;i<p;++i)
			ans=ans+node[i].sum+(node[i].r-node[i].l+1)*node[i].lz;
		return ans;		
	}
}
using namespace BLOCK;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n>>q;
	for(ljl i=1;i<=n;++i)
		cin>>a[i];
	build();
	while(q--)
	{
		ljl op;
		cin>>op;
		if(op==1)
		{
			cin>>l>>r>>v;
			change(l,r);
		}
		else
		{
			cin>>l>>r;
			cout<<query(l,r)<<'\n';
		}
	}
	return 0;
}

线段树和分块的比较：

线段树1：

	时间	空间	代码长度
分块	974ms	1.98MB	1.48KB
线段树	297ms	11.19MB	1.67KB

树状数组1：

	时间	空间	代码长度
分块	1.34s	9.55MB	1.40KB
树状数组	521ms	4.23MB	554B

虽然分块不如线段树或树状数组，但是在不熟练他们俩的情况下可以使用分块，反正能A。