对数函数log

对数函数 $\log$

前言

表扬一下 福州屏东中学，新初一课本里是乘方，作业考的是 $\log$ 的公式。

（要不是作业我都快忘记 $\log$ 了）

定义

若 $a^b=n$，则 $\log_a n=b$​。

即“底不变，俩交换”。

例如 $\because 2^3=8,\therefore \log_2 8=3$​。

在这里的 $n$ 称为真数。

性质

1、$0$ 和负数没有对数，即 $n>0$。

2、$\log _a 1=0$，即 $a^0=1$。

3、$\log_a a=1$，即 $a^1=a$。

4、对数恒等式：$a^{\log_a n}=n$，这个可以直接从定义上推导。

若 $\log$ 以 $10$ 为底，则可记为 $\lg$，同 $\log_{10}$。

运算定律

1、对加真乘

$$\log _am+\log_an=\log_a(nm)$$

2、对减真除

$$\log_am-\log_an=\log_a\frac{m}{n}$$

3、双飞公式

$$\log_{a^m}\ b^n=\frac{n}{m}\ \log _a b$$

4、换底

$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_{b}a}\\ \log_a b \times \log_b a=1$$

运算

那么对于类似于 $a^{\frac{n}{m}}$ 这样，指数是分数的乘方呢？该怎么算？

这类可以记为

$$a^{\frac{n}{m}}=(\sqrt[m]{a})^n$$