[算法日常] 分层图最短路

[算法日常] 分层图最短路

定义

对于一个可以跑最短路的图 $G$，有 $k$ 次可以 改变权值 的机会的问题，我们叫它分层图最短路。

前置知识

• 最短路（建议使用 dijkstra）
• dp

解法

解法1：二维dp

首先根据 dijkstra 算法中的松弛操作数组 dis[i] 入手，原意是表示点 $i$ 到起点 $s$ 的最短路。

那么可以多设一维，dis[i][j] 表示节点 $i$ 用了 $j$ 次机会时距离 $s$ 的最短路。

那么在跑最短路的过程中，在松弛操作里，就可以把状态转移方程推一下：

$$dis_{i,j}=min(min(dis_{from,j}+w),min(dis_{from,j-1}))$$

上面意思是松弛操作看看是不用机会好还是用了机会好。

解法2：多建点边

这种方法我认为是最适合萌新（比如我）学的解法。因为它十分好理解。

设我们改变的权值为 $w$。

原图可认为是第一层的原图，而此方法是再新建了 $k$ 层，每层对应的节点用 $w$ 连接。

例子：

假设我们有这么一张图：

其中 $k=1$。

那么我们建的图就是这样的：

十分抽象

注意到，我们真正的节点仅有 $1\sim 5$，而我们却建了 $1\sim k\times n$，共 $k$​ 层，中间用可修改的权值连接。

且对应的 $i\times n+u$ 连接的肯定是对应的 $(i+1)\times n+v$ 或 $(i-1)\times n+v$。

这么做也就是分层图的名字来源。

那么很显然了，我们就从 $s$ 号节点做最短路，跑到我们需要的节点 $t$，并且再取个 $min(dis_{1\times n+t}\sim dis_{k*n+t})$。因为有可能 $k$ 次机会没有用完。

或者不用取最小值，可以在每个 $i\times n+t$ 连个 $w$ 的边。最后直接求 $dis_{k\times n+t}$​。

易错点

注意边数！！！特别是打链式前向星的同学们（比如我）很经常栽在没建够图上，请算清楚，一共有 $4\times (k+1)\times n$ 条边！

例题：

[JLOI2011] 飞行路线

显然分层图，且 $w$ 为 $0$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ljl long long
#define PII pair<ljl,ljl>
#define mk make_pair
const ljl K=15,M=2e6+5,N=(1e4+5)*K,inf=1e18;
ljl n,m,k,head[N],cnt_e,u,v,w,s,t,dis[N],ans;
bool vis[N];
priority_queue <PII ,vector < PII > , greater< PII > > heap;
struct E{
	ljl to,w,pre;
}e[M<<1];
inline void add(ljl from,ljl to,ljl w)
{
	e[++cnt_e].to=to;
	e[cnt_e].w=w;
	e[cnt_e].pre=head[from];
	head[from]=cnt_e;
	return;
}
inline void init()
{
	memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	while(!heap.empty())
		heap.pop();
	return;
}
inline void dijk()
{
	init();
	dis[s]=0;
	heap.push(mk(0,s));
	while(!heap.empty())
	{
		ljl u=heap.top().second;
		heap.pop();
		if(vis[u]) continue;
		vis[u]=true;
		for(ljl i=head[u];i;i=e[i].pre)
		{
			ljl v=e[i].to;
			if(dis[v]>dis[u]+e[i].w)
			{
				dis[v]=dis[u]+e[i].w;
				heap.push(mk(dis[v],v));
			}
		}
	}
	return;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
	scanf("%lld%lld",&s,&t);
	for(ljl i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
		add(u,v,w);add(v,u,w);
        //重点建图！！！！！！
		for(ljl j=1;j<=k;j++)//往下建k层
		{
			add(u+(j-1)*n,v+j*n,0);
			add(v+(j-1)*n,u+j*n,0);
			add(u+j*n,v+j*n,w);
			add(v+j*n,u+j*n,w);
		}
	}
	for(ljl i=1;i<=k;i++)//上述，最后直接取最小值即可，不用考虑是否用完k次机会
		add(t+(i-1)*n,t+i*n,0);
	dijk();
	printf("%lld\n",dis[t+k*n]);
	return 0;
}

[BJWC2012] 冻结

解题思路显然，不过唯一不同就是修改的边权不是 $0$，而是 $\frac{w}{2}$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ljl long long
#define PII pair<ljl,ljl>
#define mk make_pair
const ljl K=25,M=5e6+5,N=(1e4+5)*K,inf=1e18;
ljl n,m,k,head[N],cnt_e,u,v,w,s,t,dis[N],ans;
bool vis[N];
priority_queue <PII ,vector < PII > , greater< PII > > heap;
struct E{
	ljl to,w,pre;
}e[M<<1];
inline void add(ljl from,ljl to,ljl w)
{
	e[++cnt_e].to=to;
	e[cnt_e].w=w;
	e[cnt_e].pre=head[from];
	head[from]=cnt_e;
	return;
}
inline void init()
{
	memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	while(!heap.empty())
		heap.pop();
	return;
}
inline void dijk()
{
	init();
	dis[s]=0;
	heap.push(mk(0,s));
	while(!heap.empty())
	{
		ljl u=heap.top().second;
		heap.pop();
		if(vis[u]) continue;
		vis[u]=true;
		for(ljl i=head[u];i;i=e[i].pre)
		{
			ljl v=e[i].to;
			if(dis[v]>dis[u]+e[i].w)
			{
				dis[v]=dis[u]+e[i].w;
				heap.push(mk(dis[v],v));
			}
		}
	}
	return;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
	s=1,t=n;
	for(ljl i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
		add(u,v,w);add(v,u,w);
		for(ljl j=1;j<=k;j++)
		{
			add(u+(j-1)*n,v+j*n,w/2);
			add(v+(j-1)*n,u+j*n,w/2);
			add(u+j*n,v+j*n,w);
			add(v+j*n,u+j*n,w);
		}
	}
	for(ljl i=1;i<=k;i++)
		add(t+(i-1)*n,t+i*n,0);
	dijk();
	printf("%lld\n",dis[t+k*n]);
	return 0;
}

是的，我压根就没有重新打代码，就是改了一些细节。

总结

分层图最短路实现不难，难在它的思路以及变通。之所以从 提高+/省选- -> 普及+/提高 可能就是因为 CCF 今年重视了思路应用，而不是代码实现吧。。

预祝大家 CSP-J/S 2024 RP++！！！