费马小定理

费马小定理

定义：

设 p 为素数，a 为整数，则 $a^p \equiv a\ (\mod p)$ ，若 $p \nmid a$ ，则 $a^{p-1} \equiv 1\ (\mod p)$

先证明若 $p \mid a$ ，证明过程如下：

$$\because p \mid a \\ a\mod p=0 \\ a^p \mod p =0$$

再证明当 $p \nmid a$ 时：

创建集合 $S=${ $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_{p-1}$} ，S为1，2，3，$\cdots$，p-1的一个 排列 ，$ax_1,ax_2,ax_3,\cdots,ax_{p-1}$ ，任意两项模 p 不同余

若$\exists\ \forall\ i,j,╞ 1\le i <j <p$ ，使得 $ax_i\ \equiv ax_j (\mod p)$

则 $p\mid a(x_i-x_j)$

$\because p \nmid a\ \ ,\therefore p\mid(x_i-x_j)$

又$\because x_i \mod p \not= x_j\mod p$

$\therefore 矛盾$

设$\forall \ k \in S,p\ \nmid\ S_k$

$\because ax_1\mod p,ax_2\mod p,\cdots,ax_{p-1}\mod p$ 为1,2,3,$\cdots$ ，p-1的一个排列（上文已提到）

$\therefore (ax_1)(ax_2)(ax_3)\cdots(ax_{p-1})\equiv x_1\cdot x_2\cdot x_3 \cdots x_{p-1} (\mod p)$

$$x_1\cdot x_2 \cdot x_3 \cdots x_{p-1} \\ =(p-1)(p-2)(p-3)\cdots 2\cdot 1 \\ =(p-1)!$$

$\because p\nmid(p-1)!$

$\therefore a^{p-1}\equiv 1 (\mod p)$

得证