省选模拟一题解

写在前面：

第三次打省选模拟，没看出$T3$是最可做的，只打了三个暴力，苟到了$rk7$

这场考试除了T3没有纯知识的题，但又与知识紧密关联

T1 天空碎片

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对同余和$CRT$的深刻理解

题解：

首先考虑$n,m$,不是$p$的倍数的情况,假设原根为$g$，则有

$n\equiv g^a\ (mod\ p),m \equiv g^b\ (mod\ p)$

$n\equiv c\ (mod\ p-1),m\equiv d\ (mod\ p-1)$

于是$ac\equiv bd\ (mod\ p-1)$

因为$(a,c)$可以在$p*(p-1)$唯一确定一个数$n$

所以问题转化为求合法的$(a,b,c,d)$的对数，设为$f(p-1)$

由$CRT$可得：$f(p-1)=\prod_{i=1}^{k}f(p_i^{e_i})$

对于$f(p_i^{e_i})$,设$g(i)$代表在$mod\ p_i^{e_i}$意义下$ab\equiv i\ (mod\ p_i^{e_i})$的个数

所以$f(p_i^{e_i})=\sum\limits_{i=0}^{p_i^{e_i}-1}C(i)^2$

对于$i!=0$,考虑把$a,b,i$分解成：

$c*p^L,d*p^R,x*p^y(L+R=y,c*d\equiv x\ (mod\ p^{e-y})$

对于任意$c<p^{e-L},b$在$[0,p^{e-y})\ d$有唯一解，所以在$[0,p^{e-R})$有$p^L$个$d$满足

所以$C(i)=(y+1)*p^{e-1}$，特殊的$C(0)=(e+1)*p^e-e*p^{e-1}$

最后把枚举$i$改为枚举$y$便可以快速求出$f$数组了

T2 未来拼图

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对$DFT$和$IDFT$的理解

题解：

发现$P*P=A$($*$代表长度为$n$的循环卷积)，考虑把$A$做一个$DFT$，之后开方再做$IDFT$便是$P$

因为$n$不一定是$2$的整数次幂，$n$很小，所以直接暴力$DFT$/$IDFT$实现求值和插值

T3 完美理论

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最大权闭合子图

题解：

考虑枚举哪个点一定选，把它作为根，$dfs$确定父子关系，那么要选$x$则一定要选$x$的父亲

便是裸的最大权闭合子图了