原根总结

阶

对于正整数$a$,$m$,$m$>1并且$gcd(a,m)=1$

满足$a^k\equiv1\ (mod\ m)$的最小正整数$k$称为$a$对模$m$的阶,记作$\delta_m(a)$

性质：

如果存在正整数$x$满足$a^x\equiv1\ (mod\ m)$,则$\delta_m(a)|x$

证明：

因为$a^{\delta_m(a)}\equiv1\ (mod\ m)$，所以$a^{x\ mod\ \delta_m(a)}\equiv1\ (mod\ m)$

显然这个指数一定$<\delta_m(a)$，与阶是最小正整数冲突

原根

对于正整数$m$，如果$a$对模$m$的阶等于$\varphi(m)$，则称$a$为模$m$的一个原根

性质一：

只有$2$,$4$,$p^x$,$2*p^x$才有原根

性质二：

$a^x(x\in[1,\varphi(m)])\ (mod\ m)$可以取遍$[1,\varphi(m)]$的所有数恰好一遍。

证明：

反证法：假设存在$x,y(x>y)\in[1,\varphi(m)]$满足$a^x\equiv a^y\ (mod\ m)$，那么$a^{x-y}\equiv1\ (mod\ m)$，与原根的定义冲突，所以不可能存在

原根的求法

设$a_i=\frac{\varphi(m)}{p_i}$ ($p_i$为$\varphi(m)$的质因子)

那么如果存在正整数x满足对于任意$i$，$x^{a_i}\ mod\ m!=1$，那么x为模m的一个原根

证明：

首先必要性显然，接下来证明充分性

假设存在一个$y\in[1,\varphi(m))$使得$x^y\equiv1\ (mod\ m)$

因为$l*y+r*\varphi(m)=gcd(y,\varphi(m))$

所以$a^{gcd(y,\varphi(m))}\equiv1\ (mod\ m)$

显然存在一个$a_i$满足$gcd(y,\varphi(m))|a_i$