蓝桥杯第 3 场 算法季度赛第八题 升级电缆题解
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貌似大部分人一开始想偏了，想些多 \(\log\) 的做法。大思路很简单，常见的最大化最小值，那么就是考虑二分最小值，然后通过限制进行 \(check\)。
显然 \(<mid\) 的所有速度需要增大，增大会使用开销 \(c\)，考虑 \(c\) 之和不超过 \(limit\)，除此之外注意到可能新的 \(v\) 还是 \(< mid\)，所以需要注意上界 \(r\) 其实应该是最小的 \(s\)，变化后的速度，这样保证每个比它小的 \(v\) 变化以后一定比它大。
先讲讲比较无脑的一些做法，考虑链信息使用树剖维护，那么我们可以任意查询一条链上的信息，这个查询的复杂度是双 \(\log\) 的，然后再支持二分杂七杂八的，那么这题可能有一些比较假的 \(3\log\) 做法，可能有些人可以卡过去吧。当然可以用 \(GBT\) 优化一个 \(\log\)。
观察到答案显然是跟二分性有关，那么常见的这种树上的思路，并且是多次查询的有两个方向：
-
二分 + \(\text{树类 ds 查询信息 进行 check}\) 。
-
在树上进行二分答案。
后者比较苛刻，对于树类问题，常常需要可能某个轴需要维护的是可差分的信息。
说说前者，比较暴力一点，观察到这个题涉及到的一些信息需要维护：
-
关于 \(v,s\) 所在的值域限制轴。
-
关于 \(c\) 开销总和的信息统计。
-
关于树上链 \((u,v)\) 的限制。
那么我们发现，有两对偏序限制 \((1,3)\)。那么我们至少需要维护一个类似树套树的结构才能维护关于第二点 \(c\) 的开销总和信息。
考虑特殊的树套树，单 \(\log\) 的主席树。
基于第一种做法，显然没啥好说的，既然是使用主席树维护信息，那么观察到 \(1\) 的偏序关系即为：\(\le v/s\)，即为前缀偏序，而 \(3\) 的偏序则是树上的范围性查询。显然 \(1\) 这点可以直接使用主席树本身就是维护了一个外层的前缀偏序信息，即 \(root[i]\) 表示 \(val \le i\) 的主席树，内层基于边化点以后再维护一个基于 剖分序 的偏序信息即可通过树上前缀和进行查询。
码量上应该还是不算小的，还需要写一个边化点的树链剖分，不会的可以做做 \(QTree\)，还需要离散化下。这个做法显然是双 \(\log\) 的。当然了，考虑下离线做法。对于离线带多次二分而言的题，显然整体二分最为合适，思考下二分答案以后，将所有小于它的边进行激活，然后进行判断该二分到哪一侧。重点是维护边激活操作，其实边化点以后就是若干个单修操作，用树状数组或者线段树都可以。不过这玩意如果是剖分序显然三支 \(\log\) 了，所以最好用 \(GBT\) 优化到两支 \(\log\)，主要还是链路径信息查询部分，单修复杂度很好控制。
考虑下第二种做法：
需要支持树上二分答案，那么信息要求是比较苛刻的，外轴显然是需要一个用于可差分的信息偏序限制，而维护的信息则为可差分信息，内轴即为真正的二分答案轴。
这其实是一个基础板子，不会的可以去学学树上主席树：Count on a tree
那么问题就很简单了，对外轴维护关于 \((u,v)\) 的偏序，即 \(root[u]\) 即为 \(u \rightarrow 1\) 这条路径上的所有点的累计信息，放在了对应的主席树上。
而二分的轴即为内轴，设置信息的轴，即为 \(v/s\) 的值域轴。
而维护的信息必须为可差分信息，那么显然为前两者作用下的 \(sum_c\)，关于这个限制条件下的操作累计和。
这样一来就可以进行正确的主席树上的二分了，然后有些人想要找二分的上界 \(s_{min}\) 还写了一些树剖、倍增之类的查询链上最小值，这是完全没必要的。
考虑下：当存在 \(j<i,s_j <s_i\)，那么此时此刻显然 \(s_i\) 不合法，那么只需要让 \(s_i\) 左侧不合法就行：
当左侧出现 \(s\) 时，显然一定 check 失败。这太容易了，设置 \(s_j\) 处为无穷大，这样一来开销一定超过 \(limit\)，一定不成立，一定往左找，这样一来如果存在最小的 \(s\) 是二分答案，那么我们也可以恰好二分到它了。注意 \(limit \le 1e18\)，那么这个无穷大最好使用 \(int128\) 来进行存储操作和，至于 \(lca\) 随便倍增求求就行了。单 \(\log\) 常数很小，如果是嵌套 \(\log\)，最好离散化下，否则常数是很大的。
参照代码
#include <bits/stdc++.h>
// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
// #pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")
#define isPbdsFile
#ifdef isPbdsFile
#include <bits/extc++.h>
#else
#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/trie_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tag_and_trait.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/list_update_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/exception.hpp>
#include <ext/rope>
#endif
using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef tuple<int, int, int> tii;
typedef tuple<ll, ll, ll> tll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
#define hash1 unordered_map
#define hash2 gp_hash_table
#define hash3 cc_hash_table
#define stdHeap std::priority_queue
#define pbdsHeap __gnu_pbds::priority_queue
#define sortArr(a, n) sort(a+1,a+n+1)
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define yes cout<<"YES"
#define no cout<<"NO"
#define Spider ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
#define MyFile freopen("..\\input.txt", "r", stdin),freopen("..\\output.txt", "w", stdout);
#define forn(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define forv(i, a, b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ls(x) (x<<1)
#define rs(x) (x<<1|1)
#define endl '\n'
//用于Miller-Rabin
[[maybe_unused]] static int Prime_Number[13] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37};
template <typename T>
int disc(T* a, int n)
{
return unique(a + 1, a + n + 1) - (a + 1);
}
template <typename T>
T lowBit(T x)
{
return x & -x;
}
template <typename T>
T Rand(T l, T r)
{
static mt19937 Rand(time(nullptr));
uniform_int_distribution<T> dis(l, r);
return dis(Rand);
}
template <typename T1, typename T2>
T1 modt(T1 a, T2 b)
{
return (a % b + b) % b;
}
template <typename T1, typename T2, typename T3>
T1 qPow(T1 a, T2 b, T3 c)
{
a %= c;
T1 ans = 1;
for (; b; b >>= 1, (a *= a) %= c) if (b & 1) (ans *= a) %= c;
return modt(ans, c);
}
template <typename T>
void read(T& x)
{
x = 0;
T sign = 1;
char ch = getchar();
while (!isdigit(ch))
{
if (ch == '-') sign = -1;
ch = getchar();
}
while (isdigit(ch))
{
x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
x *= sign;
}
template <typename T, typename... U>
void read(T& x, U&... y)
{
read(x);
read(y...);
}
template <typename T>
void write(T x)
{
if (typeid(x) == typeid(char)) return;
if (x < 0) x = -x, putchar('-');
if (x > 9) write(x / 10);
putchar(x % 10 ^ 48);
}
template <typename C, typename T, typename... U>
void write(C c, T x, U... y)
{
write(x), putchar(c);
write(c, y...);
}
template <typename T11, typename T22, typename T33>
struct T3
{
T11 one;
T22 tow;
T33 three;
bool operator<(const T3 other) const
{
if (one == other.one)
{
if (tow == other.tow) return three < other.three;
return tow < other.tow;
}
return one < other.one;
}
T3()
{
one = tow = three = 0;
}
T3(T11 one, T22 tow, T33 three) : one(one), tow(tow), three(three)
{
}
};
template <typename T1, typename T2>
void uMax(T1& x, T2 y)
{
if (x < y) x = y;
}
template <typename T1, typename T2>
void uMin(T1& x, T2 y)
{
if (x > y) x = y;
}
constexpr int N = 1e5 + 10;
constexpr int MX = 1e9;
constexpr ll INF = 1e18;
constexpr int T = log2(N) + 1;
typedef __int128 i128;
struct Node
{
int left, right;
i128 sum;
} node[N << 6];
#define left(x) node[x].left
#define right(x) node[x].right
#define sum(x) node[x].sum
int cnt;
int fa[N][T + 1], deep[N];
inline void add(const int pre, int& curr, const int pos, const ll val, const int l = 1, const int r = MX)
{
node[curr = ++cnt] = node[pre];
sum(curr) += val;
if (l == r) return;
const int mid = l + r >> 1;
if (pos <= mid) add(left(pre),left(curr), pos, val, l, mid);
else add(right(pre),right(curr), pos, val, mid + 1, r);
}
inline int query(const int rtU, const int rtV, const int rtLCA, const ll sumV, const int l = 1, const int r = MX)
{
if (l == r) return l;
const int mid = l + r >> 1;
const i128 leftSum = sum(left(rtU)) + sum(left(rtV)) - 2 * sum(left(rtLCA));
if (leftSum > sumV) return query(left(rtU),left(rtV),left(rtLCA), sumV, l, mid);
return query(right(rtU),right(rtV),right(rtLCA), sumV - leftSum, mid + 1, r);
}
typedef tuple<int, int, int, int> t4;
vector<t4> child[N];
int n, q;
int root[N];
inline void dfs(const int curr, const int pa)
{
deep[curr] = deep[fa[curr][0] = pa] + 1;
forn(i, 1, T) fa[curr][i] = fa[fa[curr][i - 1]][i - 1];
for (const auto [nxt,v,c,s] : child[curr])
{
if (nxt == pa) continue;
root[nxt] = root[curr];
add(root[nxt], root[nxt], v, c);
add(root[nxt], root[nxt], s, INF);
dfs(nxt, curr);
}
}
inline int LCA(int x, int y)
{
if (deep[x] < deep[y]) swap(x, y);
forv(i, T, 0) if (deep[fa[x][i]] >= deep[y]) x = fa[x][i];
if (x == y) return x;
forv(i, T, 0) if (fa[x][i] != fa[y][i]) x = fa[x][i], y = fa[y][i];
return fa[x][0];
}
inline void solve()
{
cin >> n;
forn(i, 1, n-1)
{
int x, y, v, c, s;
cin >> x >> y >> v >> c >> s;
child[x].emplace_back(y, v, c, s);
child[y].emplace_back(x, v, c, s);
}
dfs(1, 0);
cin >> q;
while (q--)
{
int u, v;
ll sum;
cin >> u >> v >> sum;
const int lca = LCA(u, v);
cout << query(root[u], root[v], root[lca], sum) << endl;
}
}
signed int main()
{
// MyFile
Spider
//------------------------------------------------------
// clock_t start = clock();
int test = 1;
// read(test);
// cin >> test;
forn(i, 1, test) solve();
// while (cin >> n, n)solve();
// while (cin >> test)solve();
// clock_t end = clock();
// cerr << "time = " << double(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;
}
