P4587 [FJOI2016] 神秘数题解

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先不考虑下标限制，考虑以下性质：

按 \(a_i\) 大小排序，考虑如果当前能得到的集合为 \([1,x]\)，并且考虑可以组成它的集合为：
\(S_i=\{a_1,a_2,a_3,...a_i\}\)，记 \(sum_i=\sum\limits_{i=1}^{n} a_i\)，那么考虑对于在 \(S_i\) 中加入新的几个数 \(\{a_{i+1},a_{i+2},a_{i+3},a_{i+4}...\}\)，这些数的和记作 \(NewSum\)，来考虑几个性质。按序排序是为了先考虑小数是否可以被凑出来，再考虑大数。

对于新加入的集合的数应该有以下性质：

不能包含 \(S_i\)，即 \(i<j\) 或者说 \(a_i<a_j\)，\(a_j\) 为新加入的数，不能选取原来凑成 \([1,x]\) 的集合 \(S_i\)。
保证新加入的数 \(a_j \le x\)。

来说说性质二是怎么得到的，也是难点，对于 \([1,x]\)，我们加入 \(a_j\)，我们考虑是否能得到 \(x+1\)，光由原来的集合 \(S_i\) 肯定无法得到 \(x+1\)，那么考虑 \(a_j\) 加入以后，我们所需要 \(S_i\) 集合去凑出 \(x+1-a_j\)，那么由于原来的可以凑的值域为 \([1,x]\)，所以显然这个数 \(1 \le x+1-a_j \le x\) 才行，那么很显然可以得到 \(a_j\le x\)，后者不等式在本题条件下则是恒成立。

而可以凑出 \(x+1\) 以后，那么考虑 \(x+2,x+3,....x+a_j\)，我们则只需要 \(S_i\) 分别去凑出，\(x+2-a_j\)，\(x+3-a_j,\) 一直到 \(...x+a_j-a_j=x\)，容易看出来对于 \([x+1,x+a_j]\) 的数的构造我们只需要原来的 \(S_i\) 构造出 \(x+t-a_j\ (1 \le t\le a_j)\) 即可，这玩意显然是关于 \(t\) 的单增序列，而同上述证明，只要保证首项 \(\ge 1\)，其他项自然满足了，而右不等式对于每一项都是成立的。综上所示，这个 \(x+t-a_j \in [1,x]\)，可以由 \(S_i\) 构造出来。这样一来，我们的 \([1,x]\) 就能拓展到 \([1,x+a_j]\)。

现在考虑加入的不是一个数，而是满足上述两条性质的所有 \(a_j\)，显然值域将能扩展为 \([1,x+newSum]\)。具体的 \([1,x]->[1,x+a_j]->[1,x+a_{j}+a_{j+1}]...\)，证明：对于 \(a_{j+1}\le x < x+a_j\)，其他的累加值域同理可证。

考虑两条性质拿出来显然是值域限制，再加题目一个下标限制：

\(l\le i \le r\)。
\(a_{k}=pre \le a_j \le x=currAns\)。

在上 \(ds\) 之前考虑一下，如果暴力的从值域 \(0\) 到最终的答案的 \(x\) 会做多少次操作。注意到每次操作，你的下界会变回上次的 \(x\)，上界则为当前的 \(x\)，每次都是 \(x\) 的一个置换，值域下界为 \(1\)，上界为 \(sum_{n}\)。考虑这样的操作要几次会让 \(1\rightarrow sum_n\)，每次操作变化为 \(val\)，那么显然是 \(1+1+2+3+5+8...\)，像斐波那契数列一样跳：

描述表达

当 \(x=1\) 时，增加最少为当前 \(a_j=1\)，这样 \(x=1+1\)，\(x=2\) 时，至少增加上次的上界为 \(1\)，则 \(x=2+1\)，然后再 \(x=3+2\)，\(x=5+3\)，\(x=8+5...\)。

数学表达

记 \(x\) 在第 \(i\) 时刻的值为 \(a_i\)。根据上述说的其实本质就为上次 \(x\) 作为下界，当前 \(x\) 为上界。那么最少增加下界。即有 \(i\) 时刻的下界为上一次的值，即为 \(a_{i-1}\)。考虑第 \(i+2\) 时刻，\(a_{i+2}=a_{i+1}+a_i\)，\(a_i\) 为上次的下界，上次的下界为上上次的值。\(a_{i+1}\) 为上次的值，由上次的值加上上次的下界即为当前最坏的下界。

斐波那契数列

考虑第几项 \(x_i=INF\)？

\(\log{1e15}=49\)，所以这玩意其实和 \(\log\) 也差不多。因为它的解析解并不太好求出这个 \(i\) 的不等式范围。

本题显然最坏上界为 \(n\sum a_i\le 1e15\)。

所以这玩意暴力做也就 \(\log{\sum a_i}\) 次，考虑查询复杂度。\([l,r]\) 上 \([值域下界,值域上界]\) 上的数之和 \(newSum\)。这玩意显然树套树带双 \(\log\) 不可行，可以考虑主席树优化这类权值类信息查找，这样一来就是双 \(log\) 了。

细节

有个细节，当 \(a_j=x+1\) 时，虽然不满足 \(\le a_j\)，但可以靠自身凑出 \(x+1\)，而凑出 \(x+1\) 以后，剩余的 \(a_j \le x+1\) 了，也能凑了，所以真正的上界可以拓展到神秘数，即 \(x+1\)。

注意上一次的下界是属于不可取的：\(a_j>a_i\)，所以查找应该为 \(\ge pre+1\)。当前神秘数则是可取的上界，所以 \([pre+1,x]\) 才是正确的，查找如果 \(sum=0\) 显然也可以提前结束了，因为 \(x\) 并不会再发生任何变化了。

参照代码

#include <bits/stdc++.h>

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
// #pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")

#define isPbdsFile

#ifdef isPbdsFile

#include <bits/extc++.h>

#else

#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/trie_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tag_and_trait.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/list_update_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/exception.hpp>
#include <ext/rope>

#endif

using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef tuple<int, int, int> tii;
typedef tuple<ll, ll, ll> tll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
#define hash1 unordered_map
#define hash2 gp_hash_table
#define hash3 cc_hash_table
#define stdHeap std::priority_queue
#define pbdsHeap __gnu_pbds::priority_queue
#define sortArr(a, n) sort(a+1,a+n+1)
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define yes cout<<"YES"
#define no cout<<"NO"
#define Spider ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
#define MyFile freopen("..\\input.txt", "r", stdin),freopen("..\\output.txt", "w", stdout);
#define forn(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define forv(i, a, b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ls(x) (x<<1)
#define rs(x) (x<<1|1)
#define endl '\n'
//用于Miller-Rabin
[[maybe_unused]] static int Prime_Number[13] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37};

template <typename T>
int disc(T* a, int n)
{
    return unique(a + 1, a + n + 1) - (a + 1);
}

template <typename T>
T lowBit(T x)
{
    return x & -x;
}

template <typename T>
T Rand(T l, T r)
{
    static mt19937 Rand(time(nullptr));
    uniform_int_distribution<T> dis(l, r);
    return dis(Rand);
}

template <typename T1, typename T2>
T1 modt(T1 a, T2 b)
{
    return (a % b + b) % b;
}

template <typename T1, typename T2, typename T3>
T1 qPow(T1 a, T2 b, T3 c)
{
    a %= c;
    T1 ans = 1;
    for (; b; b >>= 1, (a *= a) %= c) if (b & 1) (ans *= a) %= c;
    return modt(ans, c);
}

template <typename T>
void read(T& x)
{
    x = 0;
    T sign = 1;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch))
    {
        if (ch == '-') sign = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (isdigit(ch))
    {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    x *= sign;
}

template <typename T, typename... U>
void read(T& x, U&... y)
{
    read(x);
    read(y...);
}

template <typename T>
void write(T x)
{
    if (typeid(x) == typeid(char)) return;
    if (x < 0) x = -x, putchar('-');
    if (x > 9) write(x / 10);
    putchar(x % 10 ^ 48);
}

template <typename C, typename T, typename... U>
void write(C c, T x, U... y)
{
    write(x), putchar(c);
    write(c, y...);
}


template <typename T11, typename T22, typename T33>
struct T3
{
    T11 one;
    T22 tow;
    T33 three;

    bool operator<(const T3 other) const
    {
        if (one == other.one)
        {
            if (tow == other.tow) return three < other.three;
            return tow < other.tow;
        }
        return one < other.one;
    }

    T3()
    {
        one = tow = three = 0;
    }

    T3(T11 one, T22 tow, T33 three) : one(one), tow(tow), three(three)
    {
    }
};

template <typename T1, typename T2>
void uMax(T1& x, T2 y)
{
    if (x < y) x = y;
}

template <typename T1, typename T2>
void uMin(T1& x, T2 y)
{
    if (x > y) x = y;
}

constexpr ll INF = 1e15;
constexpr int N = 1e5 + 10;
int cnt;

struct Node
{
    ll sum;
    int left, right;
} node[N << 7];

#define left(x) node[x].left
#define right(x) node[x].right
#define sum(x) node[x].sum

inline void add(const int pre, int& curr, const ll pos, const ll l = 1, const ll r = INF)
{
    node[curr = ++cnt] = node[pre];
    sum(curr) += pos;
    const ll mid = l + r >> 1;
    if (l == r) return;
    if (pos <= mid) add(left(pre),left(curr), pos, l, mid);
    else add(right(pre),right(curr), pos, mid + 1, r);
}

inline ll query(const int L, const int R, const ll l, const ll r, const ll s = 1, const ll e = INF)
{
    const ll sum = sum(R) - sum(L);
    if (!sum) return 0;
    if (l <= s and e <= r) return sum;
    const ll mid = s + e >> 1;
    ll ans = 0;
    if (l <= mid) ans += query(left(L),left(R), l, r, s, mid);
    if (r > mid) ans += query(right(L),right(R), l, r, mid + 1, e);
    return ans;
}

int root[N];
int n, q, x;

inline void solve()
{
    cin >> n;
    forn(i, 1, n) cin >> x, add(root[i - 1], root[i], x);
    cin >> q;
    while (q--)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        ll ans = 1, sum; //当前神秘数,当前和
        ll pre = 0; //上一次的下界,也即上一次的神秘数
        do
        {
            sum = query(root[l - 1], root[r], pre + 1, ans); //符合条件的和
            pre = ans;
            ans += sum;
        }
        while (sum != 0);
        cout << ans << endl;
    }
}

signed int main()
{
    // MyFile
    Spider
    //------------------------------------------------------
    // clock_t start = clock();
    int test = 1;
    //    read(test);
    // cin >> test;
    forn(i, 1, test) solve();
    //    while (cin >> n, n)solve();
    //    while (cin >> test)solve();
    // clock_t end = clock();
    // cerr << "time = " << double(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;
}

\[时间复杂度为(建树+询问):\ O(n\log{V_{max}}+q\log^2{V_{max}}),\ V_{max}=\sum a_i \]

常数空间优化，由于 \(\sum a_i \le 1e9\)，而查找 \(INF=1e15\)，所以我们可以对上界取 \(min\)，因为查找的 \(a_i\le \max{a}\)。下界则可以当 \(> 值域上界\) 时停止。

参照代码

#include <bits/stdc++.h>

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
// #pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")

#define isPbdsFile

#ifdef isPbdsFile

#include <bits/extc++.h>

#else

#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/trie_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tag_and_trait.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/list_update_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/exception.hpp>
#include <ext/rope>

#endif

using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef tuple<int, int, int> tii;
typedef tuple<ll, ll, ll> tll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
#define hash1 unordered_map
#define hash2 gp_hash_table
#define hash3 cc_hash_table
#define stdHeap std::priority_queue
#define pbdsHeap __gnu_pbds::priority_queue
#define sortArr(a, n) sort(a+1,a+n+1)
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define yes cout<<"YES"
#define no cout<<"NO"
#define Spider ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
#define MyFile freopen("..\\input.txt", "r", stdin),freopen("..\\output.txt", "w", stdout);
#define forn(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define forv(i, a, b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ls(x) (x<<1)
#define rs(x) (x<<1|1)
#define endl '\n'
//用于Miller-Rabin
[[maybe_unused]] static int Prime_Number[13] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37};

template <typename T>
int disc(T* a, int n)
{
    return unique(a + 1, a + n + 1) - (a + 1);
}

template <typename T>
T lowBit(T x)
{
    return x & -x;
}

template <typename T>
T Rand(T l, T r)
{
    static mt19937 Rand(time(nullptr));
    uniform_int_distribution<T> dis(l, r);
    return dis(Rand);
}

template <typename T1, typename T2>
T1 modt(T1 a, T2 b)
{
    return (a % b + b) % b;
}

template <typename T1, typename T2, typename T3>
T1 qPow(T1 a, T2 b, T3 c)
{
    a %= c;
    T1 ans = 1;
    for (; b; b >>= 1, (a *= a) %= c) if (b & 1) (ans *= a) %= c;
    return modt(ans, c);
}

template <typename T>
void read(T& x)
{
    x = 0;
    T sign = 1;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch))
    {
        if (ch == '-') sign = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (isdigit(ch))
    {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    x *= sign;
}

template <typename T, typename... U>
void read(T& x, U&... y)
{
    read(x);
    read(y...);
}

template <typename T>
void write(T x)
{
    if (typeid(x) == typeid(char)) return;
    if (x < 0) x = -x, putchar('-');
    if (x > 9) write(x / 10);
    putchar(x % 10 ^ 48);
}

template <typename C, typename T, typename... U>
void write(C c, T x, U... y)
{
    write(x), putchar(c);
    write(c, y...);
}


template <typename T11, typename T22, typename T33>
struct T3
{
    T11 one;
    T22 tow;
    T33 three;

    bool operator<(const T3 other) const
    {
        if (one == other.one)
        {
            if (tow == other.tow) return three < other.three;
            return tow < other.tow;
        }
        return one < other.one;
    }

    T3()
    {
        one = tow = three = 0;
    }

    T3(T11 one, T22 tow, T33 three) : one(one), tow(tow), three(three)
    {
    }
};

template <typename T1, typename T2>
void uMax(T1& x, T2 y)
{
    if (x < y) x = y;
}

template <typename T1, typename T2>
void uMin(T1& x, T2 y)
{
    if (x > y) x = y;
}

constexpr int N = 1e5 + 10;
ll mx;
int cnt;

struct Node
{
    ll sum;
    int left, right;
} node[N << 6];

#define left(x) node[x].left
#define right(x) node[x].right
#define sum(x) node[x].sum

inline void add(const int pre, int& curr, const int pos, const int l = 1, const int r = mx)
{
    node[curr = ++cnt] = node[pre];
    sum(curr) += pos;
    const int mid = l + r >> 1;
    if (l == r) return;
    if (pos <= mid) add(left(pre),left(curr), pos, l, mid);
    else add(right(pre),right(curr), pos, mid + 1, r);
}

inline ll query(const int L, const int R, const int l, const int r, const int s = 1, const int e = mx)
{
    const ll sum = sum(R) - sum(L);
    if (!sum) return 0;
    if (l <= s and e <= r) return sum;
    const ll mid = s + e >> 1;
    ll ans = 0;
    if (l <= mid) ans += query(left(L),left(R), l, r, s, mid);
    if (r > mid) ans += query(right(L),right(R), l, r, mid + 1, e);
    return ans;
}

int root[N], a[N];
int n, q, x;

inline void solve()
{
    cin >> n;
    forn(i, 1, n) cin >> a[i], uMax(mx, a[i]);
    forn(i, 1, n) add(root[i - 1], root[i], a[i]);
    cin >> q;
    while (q--)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        ll ans = 1, sum; //当前神秘数,当前和
        ll pre = 0; //上一次的下界,也即上一次的神秘数
        do
        {
            if (pre + 1 > mx) break;
            sum = query(root[l - 1], root[r], pre + 1, min(ans, mx)); //符合条件的和
            pre = ans;
            ans += sum;
        }
        while (sum != 0);
        cout << ans << endl;
    }
}

signed int main()
{
    // MyFile
    Spider
    //------------------------------------------------------
    // clock_t start = clock();
    int test = 1;
    //    read(test);
    // cin >> test;
    forn(i, 1, test) solve();
    //    while (cin >> n, n)solve();
    //    while (cin >> test)solve();
    // clock_t end = clock();
    // cerr << "time = " << double(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;
}

\[优化后的时间复杂度为:\ O(n\log{V_{max}}+q\log{V_{max}}\log{\sum{a_i}}),\ V_{max}=\max a_i \]

posted @ 2024-04-17 15:08 Athanasy 阅读(18) 评论(0) 编辑收藏举报

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