CF1618G Trader Problem 题解
题目链接：CF 或者 洛谷
视频讲解
本题挺有意思的，我们观察到 \(\le k\) 这个限制使得我们可以将原序列进行分组，把 \(\le k\) 的限制的元素放在一组中，那么根据题意，这组当中任意元素之间都是可以互相交换的，包括系统用品。那么假设一组中有 \(x\) 个自身的物品，\(y\) 个系统物品，那么这 \(x+y\) 物品 都能实现互相交换，但只有 \(x\) 个物品才能作为贡献，根据贪心要求答案最大，那么我们需要这 \(x+y\) 物品中最大的 \(x\) 个物品作为贡献。接下来我们观察到物品这玩意是需要贪心取的，为我们先对物品(这里包括自身物品和系统物品)按照价值排序，对于一个 \(k\) 限制，我们观察到这玩意有一个类似单调性的性质：
\(k\) 越大，那么组数越少，会导致一些组进行合并，合并的要求就是组的极值元素满足 \(\le k\) 限制，\(k\) 越小，显然还要拆分组，那么我们不妨让询问的 \(k\) 变得有序。这样我们的组就是不断合并的过程。接下来考虑 \(k\) 限制会让一些区间合并为一组，这些区间的特点为：\(max-min \le k\)，我们可以通过枚举单点预处理出这些连接点所需要的 \(k\)，并将它有序排序，这样一来，我们就可以知道需要合并的 \([pos,pos+1]\) 的相邻点对。接下来考虑答案贡献变化，在原来总和的情况，合并意味着需要去掉两个组各自的贡献，然后加上新的组贡献：
贡献为 \(x+y\) 数中的最大的 \(x\) 数之和，组这个的东西我们可以并查集维护，这样一来就知道 \(x\) 大小，关于这 \(x\) 个数最大和，由于组这个东西是连续的区间，那么又因为我们按照了 \(val\) 排序了，所以这里并不太需要什么数据结构或者启发式合并，我们只需要使用前缀和就能知道后缀 \(x\) 个数之和，这个后缀就是最大的 \(x\) 个数。为了找到一个组的后缀右端点，我们并查集可以同时维护最右端点。
参照代码
#include <bits/stdc++.h>
// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
// #pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")
// #define isPbdsFile
#ifdef isPbdsFile
#include <bits/extc++.h>
#else
#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/trie_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tag_and_trait.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/list_update_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/exception.hpp>
#include <ext/rope>
#endif
using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef tuple<int, int, int> tii;
typedef tuple<ll, ll, ll> tll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
#define hash1 unordered_map
#define hash2 gp_hash_table
#define hash3 cc_hash_table
#define stdHeap std::priority_queue
#define pbdsHeap __gnu_pbds::priority_queue
#define sortArr(a, n) sort(a+1,a+n+1)
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define yes cout<<"YES"
#define no cout<<"NO"
#define Spider ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
#define MyFile freopen("..\\input.txt", "r", stdin),freopen("..\\output.txt", "w", stdout);
#define forn(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define forv(i, a, b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ls(x) (x<<1)
#define rs(x) (x<<1|1)
#define endl '\n'
//用于Miller-Rabin
[[maybe_unused]] static int Prime_Number[13] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37};
template <typename T>
int disc(T* a, int n)
{
return unique(a + 1, a + n + 1) - (a + 1);
}
template <typename T>
T lowBit(T x)
{
return x & -x;
}
template <typename T>
T Rand(T l, T r)
{
static mt19937 Rand(time(nullptr));
uniform_int_distribution<T> dis(l, r);
return dis(Rand);
}
template <typename T1, typename T2>
T1 modt(T1 a, T2 b)
{
return (a % b + b) % b;
}
template <typename T1, typename T2, typename T3>
T1 qPow(T1 a, T2 b, T3 c)
{
a %= c;
T1 ans = 1;
for (; b; b >>= 1, (a *= a) %= c)if (b & 1)(ans *= a) %= c;
return modt(ans, c);
}
template <typename T>
void read(T& x)
{
x = 0;
T sign = 1;
char ch = getchar();
while (!isdigit(ch))
{
if (ch == '-')sign = -1;
ch = getchar();
}
while (isdigit(ch))
{
x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
x *= sign;
}
template <typename T, typename... U>
void read(T& x, U&... y)
{
read(x);
read(y...);
}
template <typename T>
void write(T x)
{
if (typeid(x) == typeid(char))return;
if (x < 0)x = -x, putchar('-');
if (x > 9)write(x / 10);
putchar(x % 10 ^ 48);
}
template <typename C, typename T, typename... U>
void write(C c, T x, U... y)
{
write(x), putchar(c);
write(c, y...);
}
template <typename T11, typename T22, typename T33>
struct T3
{
T11 one;
T22 tow;
T33 three;
bool operator<(const T3 other) const
{
if (one == other.one)
{
if (tow == other.tow)return three < other.three;
return tow < other.tow;
}
return one < other.one;
}
T3() { one = tow = three = 0; }
T3(T11 one, T22 tow, T33 three) : one(one), tow(tow), three(three)
{
}
};
template <typename T1, typename T2>
void uMax(T1& x, T2 y)
{
if (x < y)x = y;
}
template <typename T1, typename T2>
void uMin(T1& x, T2 y)
{
if (x > y)x = y;
}
constexpr int N = 1e6 + 10;
ll pre[N];
pii a[N];
struct Op
{
int pos, k;
bool operator<(const Op& other) const
{
return k < other.k;
}
} op[N];
int opCnt;
pii k[N];
int n, m, q;
ll curr;
ll ans[N];
int fa[N], siz[N], last[N];
inline int find(const int x)
{
return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}
inline void merge(const int x, const int y)
{
fa[x] = y, siz[y] += siz[x], uMax(last[y], last[x]);
}
inline void solve()
{
cin >> n >> m >> q;
forn(i, 1, n+m)cin >> a[i].first, a[i].second = i, curr += (i <= n) * a[i].first;
sortArr(a, n+m);
forn(i, 1, n+m)fa[i] = last[i] = i, siz[i] = a[i].second <= n, pre[i] += pre[i - 1] + a[i].first;
forn(i, 1, n+m-1)op[++opCnt] = Op(i, a[i + 1].first - a[i].first);
sortArr(op, opCnt);
forn(i, 1, q)cin >> k[i].first, k[i].second = i;
sortArr(k, q);
int updateCnt = 1;
forn(i, 1, q)
{
const auto [diff,id] = k[i];
while (updateCnt <= opCnt and op[updateCnt].k <= diff)
{
const auto [pos,_] = op[updateCnt];
const int x = find(pos), y = find(pos + 1);
const ll leftSum = pre[last[x]] - pre[last[x] - siz[x]];
const ll rightSum = pre[last[y]] - pre[last[y] - siz[y]];
curr -= leftSum + rightSum;
merge(x, y);
curr += pre[last[y]] - pre[last[y] - siz[y]];
updateCnt++;
}
ans[id] = curr;
}
forn(i, 1, q)cout << ans[i] << endl;
}
signed int main()
{
// MyFile
Spider
//------------------------------------------------------
// clock_t start = clock();
int test = 1;
// read(test);
// cin >> test;
forn(i, 1, test)solve();
// while (cin >> n, n)solve();
// while (cin >> test)solve();
// clock_t end = clock();
// cerr << "time = " << double(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;
}
\[忽略并查集的反阿克曼函数常数,时间复杂度为:\ O((n+m)\log{(n+m)}+q\log{q})
\]
