CF1638E Colorful Operations 题解
题目链接：CF 或者 洛谷
关于非随机数据的颜色均摊是 \(O(n)\) 的，在往期文章中已经提过。本题需要考虑一下关于操作二的一个影响怎么进行处理。其实这个东西我们可以类似标记永久化的思想去开一个数组记录 \(tag[color]\) 表示这种颜色最终需要加多少。
解下来我们要来考虑一个问题，如果一个位置 \(i\) 的颜色 \(x \rightarrow y\)，那么再查询 \(i\) 处的值，由于它变成了 \(y\)，那么最终意外地加上了 \(tag[y]\)。换句话来说，对于一种颜色 \(y\) 来说，当 \(x\) 变成 \(y\) 时并不需要加上原来操作的 \(tag[y]\) 作为答案，它相当于是重新开始计算新的 \(tag[y]\)，但我们显然没办法单独为它开空间记录，但我们可以发现最终都是会加上 \(tag[y]\)，这个 \(tag[y]\) 中会有多余贡献，这个多余贡献来自于当 \(x \rightarrow y\) 时，我们此时此刻新的 \(y\) 的 \(tag[y]\) 应该从 \(0\) 开始，所以实际上，我们可以直接消这部分贡献 \(-tag[y]\)，这样在最终都加上这个 \(tag[y]\) 时，这部分多余的部分影响就能被去掉了。
接下来继续关注 \(x \rightarrow y\) 这个变化，你会发现还是没正确。当 \(tag[x]\) 存在时，那么你这个位置的最终值其实是需要 \(+tag[x]\)，但你由于变成了颜色 \(y\)，导致你最终的值并不能加上这个时刻的 \(tag[x]\)，那么其实当 \(x \rightarrow y\) 时，这个 \(i\) 位置应该还得 \(+tag[x]\)，这样保证你最终查找才正确。
当然不可能暴力单点修改，注意到操作一本质是区间覆盖操作，根据非随机数据颜色均摊是 \(O(n)\) 的，我们可以对颜色段进行维护，这个可以 \(ODT\) 也可以线段树，线段树的维护方式就多维护一个标记，表示当前区间是否颜色都是相同的，不相同就往下找。对于一个颜色段 \(x\) 被覆盖为 \(y\)，考虑颜色段的范围 \([l,r]+tag[x]\)，最终变为了 \(y\) 再最终区间上去掉 \(tag[y]\)。关于查询是单点查询，那么我们只需要维护一个区间加与单点查询。这个我们可以可以用差分树状数组就能做到了。关于颜色段的维护我们这里使用更好写的 \(ODT\)，线段树维护颜色段可以参照我的 U404643 帕鲁大陆染色的一天 题解。
参照代码
#include <bits/stdc++.h>
// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
// #pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")
// #define isPbdsFile
#ifdef isPbdsFile
#include <bits/extc++.h>
#else
#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/trie_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tag_and_trait.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/list_update_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/exception.hpp>
#include <ext/rope>
#endif
using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef tuple<int, int, int> tii;
typedef tuple<ll, ll, ll> tll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
#define hash1 unordered_map
#define hash2 gp_hash_table
#define hash3 cc_hash_table
#define stdHeap std::priority_queue
#define pbdsHeap __gnu_pbds::priority_queue
#define sortArr(a, n) sort(a+1,a+n+1)
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define yes cout<<"YES"
#define no cout<<"NO"
#define Spider ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
#define MyFile freopen("..\\input.txt", "r", stdin),freopen("..\\output.txt", "w", stdout);
#define forn(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define forv(i, a, b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ls(x) (x<<1)
#define rs(x) (x<<1|1)
#define endl '\n'
//用于Miller-Rabin
[[maybe_unused]] static int Prime_Number[13] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37};
template <typename T>
int disc(T* a, int n)
{
return unique(a + 1, a + n + 1) - (a + 1);
}
template <typename T>
T lowBit(T x)
{
return x & -x;
}
template <typename T>
T Rand(T l, T r)
{
static mt19937 Rand(time(nullptr));
uniform_int_distribution<T> dis(l, r);
return dis(Rand);
}
template <typename T1, typename T2>
T1 modt(T1 a, T2 b)
{
return (a % b + b) % b;
}
template <typename T1, typename T2, typename T3>
T1 qPow(T1 a, T2 b, T3 c)
{
a %= c;
T1 ans = 1;
for (; b; b >>= 1, (a *= a) %= c)
if (b & 1)
(ans *= a) %= c;
return modt(ans, c);
}
template <typename T>
void read(T& x)
{
x = 0;
T sign = 1;
char ch = getchar();
while (!isdigit(ch))
{
if (ch == '-')
sign = -1;
ch = getchar();
}
while (isdigit(ch))
{
x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
x *= sign;
}
template <typename T, typename... U>
void read(T& x, U&... y)
{
read(x);
read(y...);
}
template <typename T>
void write(T x)
{
if (typeid(x) == typeid(char))
return;
if (x < 0)
x = -x, putchar('-');
if (x > 9)
write(x / 10);
putchar(x % 10 ^ 48);
}
template <typename C, typename T, typename... U>
void write(C c, T x, U... y)
{
write(x), putchar(c);
write(c, y...);
}
template <typename T11, typename T22, typename T33>
struct T3
{
T11 one;
T22 tow;
T33 three;
bool operator<(const T3 other) const
{
if (one == other.one)
{
if (tow == other.tow)
return three < other.three;
return tow < other.tow;
}
return one < other.one;
}
T3() { one = tow = three = 0; }
T3(T11 one, T22 tow, T33 three) :
one(one), tow(tow), three(three)
{
}
};
template <typename T1, typename T2>
void uMax(T1& x, T2 y)
{
if (x < y)
x = y;
}
template <typename T1, typename T2>
void uMin(T1& x, T2 y)
{
if (x > y)
x = y;
}
constexpr int N = 1e6 + 10;
ll bit[N], tag[N];
int n, q;
inline void add(int x, const ll val)
{
for (; x <= n; x += lowBit(x))
bit[x] += val;
}
inline void add(const int l, const int r, const ll val)
{
add(l, val), add(r + 1, -val);
}
inline ll query(int x)
{
ll ans = 0;
for (; x; x -= lowBit(x))
ans += bit[x];
return ans;
}
struct ODT
{
int l, r;
mutable int val;
bool operator<(const ODT& other) const
{
return l < other.l;
}
ODT(const int l, const int r, const int val) :
l(l),
r(r),
val(val)
{
}
};
set<ODT> node;
typedef set<ODT>::iterator iter;
inline iter split(const int pos)
{
auto it = node.lower_bound(ODT(pos, 0, 0));
if (it != node.end() and it->l == pos)return it;
--it;
if (it->r < pos)return node.end();
const auto [l,r,val] = *it;
node.erase(it), node.insert(ODT(l, pos - 1, val));
return node.insert(ODT(pos, r, val)).first;
}
inline void assign(const int l, const int r, const int val)
{
const auto itr = split(r + 1), itl = split(l);
for (auto it = itl; it != itr; ++it)
{
const auto [l,r,col] = *it;
add(l, r, tag[col]);
}
node.erase(itl, itr), node.insert(ODT(l, r, val));
add(l, r, -tag[val]);
}
string op;
inline void solve()
{
cin >> n >> q;
node.insert(ODT(1, n, 1));
while (q--)
{
cin >> op;
if (op == "Color")
{
int l, r, val;
cin >> l >> r >> val;
assign(l, r, val);
}
else if (op == "Add")
{
int col, val;
cin >> col >> val;
tag[col] += val;
}
else
{
int pos;
cin >> pos;
const int col = split(pos)->val;
cout << query(pos) + tag[col] << endl;
}
}
}
signed int main()
{
// MyFile
Spider
//------------------------------------------------------
// clock_t start = clock();
int test = 1;
// read(test);
// cin >> test;
forn(i, 1, test)
solve();
// while (cin >> n, n)solve();
// while (cin >> test)solve();
// clock_t end = clock();
// cerr << "time = " << double(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;
}
\[时间复杂度为:\ O(q\log{n})
\]
