P4690 [Ynoi2016] 镜中的昆虫 题解
题目链接：镜中的昆虫
经典题了，我们首先回顾下颜色数的常见做法统计：
对每个位置维护一个 \(pre_i\)，表示与当前位置相同的颜色上一次出现位置。那么我们分讨一下。
查询 \([l,r]\) 得到颜色数，对于 \(pre_i<l\) 的 \(i\) 点，显然它就是这个区间内 \(a_i\) 对应颜色出现的第一个位置，我们把它作为贡献点，而其他的 \(pre_i \ge l\)，显然意味着，在当前区间内是存在前驱贡献点的，并不需要作为贡献点。所以颜色问题就转化为询问 \(i \in [l,r]\) 上有多少个 \(pre_i<l\)。
本题涉及到了区间覆盖，那么很显然，对于单纯地暴力修改每个 \(pre\) 是不现实的，这里先考虑不带修的区间段问题。
如果有若干段连续颜色段，询问某个段的颜色个数，那么一个考虑不带修，区别于传统的 \(HH的项链\) 问题解决方式，我们是预处理以后跑扫描线去做的，本质也是二维数点：我的某篇讲解文。参照了下题解区的一些大佬和我之前写的这篇文章，我对颜色数又有了新的看法。
对于一个极长连续颜色段，我们可以沿用之前文章中提到的代表元和作用范围的观点，对于一个极长颜色段来说，我们的当前点的作用范围为 \([pre[i],i]\)，代表元为 \(color_{first}\)。为什么选第一个点作为代表元贡献，那是因为，对于一个颜色段来说，它的贡献只有 \(1\)，而这个贡献可以选自这里面的任意一个元素，我们强制规定第一个点元素进行贡献，方便处理。
我们现在加上带修，看看上面的观点是否正确。对于如果上述的极长颜色连续段 \([l,r]\) 遇上了带修区间 \([L,R]\) 考虑有部分交集，并且二者颜色不同：
-
\(l<L,R\le r\)，这个时候会分为两段，显然前段 \([l,L-1]\) 依旧还是第一个颜色作为代表元，后半段则为 \([L,r]\)，\(L\) 作为新一段的代表元，显然是非常容易做到的。
-
在 \(1\) 的基础上，\(R<r\)，那么就是分为三段，最后两段为 \([L,R]\)，最后一段 \([R+1,r]\)，显然这三个极长连续段的第一个元素都可以分别作为代表元元素，且非常容易操作。
那么其实关于极长连续段我们就可以抽象为 \((pre[i],i)\) 的贡献，其中 \(i\) 为这个连续段的第一个元素，类似化段为点的思想，不得不说颜色数这个真是经典又永无止境的问题。
那么考虑正儿八经的带修，这玩意在线显然树套树空间好像不是很行，毕竟 \(64mb\) 限制，那么显然考虑离线，离线带修又有二维数点的，那么显然是 \(cdq分治\) 了。
现在考虑构造出修改与查询，查询很简单，对于区间查询，并且颜色数这个问题属于可差性问题，可以转化为前缀和作差：\([0,r]\) 上的颜色数减去 \([0,l-1]\) 上的颜色数。
考虑如何快速修改上述提到的极长连续颜色段，一个比较自然的想法就是分桶，为每个颜色进行分桶，那么我们可以快速知道待修改的颜色段。为了快速定位到 \([l,r]\) 的插入与删除，我们使用平衡树维护每个颜色桶。对于修改 \(pre\) 和传统颜色数问题一样，先去掉原有的 \(pre\) 贡献，再加入新的 \(pre\) 贡献。
-
对于某个颜色桶中增加一个 \([l,r]\)，我们可以快速基于二分出红色段，考虑 \(last\) 段的开头 \(l\) 修改 \(pre\) 为 \(l\)。而 \(l\) 处的 \(pre\) 应该修改该为蓝色段 \(pre\) 的 \(l\)。
-
对于删除，显然只需要考虑 \(last\) 的 \(pre\) 变为了蓝色段的 \(l\)。
当然蓝色段不存在的情况下自然是 \(0\) 了，特判一下。
对于一个 \([l,r]\) 上如何知道需要删除以及增加哪种颜色的连续段，这个玩意 \(ODT\) 就能办到，本题由于 \(ODT\) 只与修改的查询有关，修改只有区间赋值，所以复杂度也是完全正确的。非随机数据下的 \(ODT\) 这种颜色均摊为 \(O(n)\)，即最坏的时候就是 \([l,l]\) 的修改。
这里简单提提什么情况下 \(ODT\) 在非随机数据向下会被卡，首先除了区间覆盖操作以外，还有其他的操作，比如区间加操作，那么构造卡的数据很简单，比如区间 \(+\)，在初始状态下反复 \([1,n]\) 进行 \(+\)，每次修改即为 \(O(n)\)。另一种拥有区间查询询问，由于数据不随机，我们的 \([l,r]\) 可以每次 \([l,l]\) 使得颜色段数无法均摊到 \(\log{n}\)，这个时候查询每次 \([1,n]\)，那么查询的单次复杂度即为 \(O(n)\)，也能卡。本题仅仅用到总均摊数 \(O(n)\) 的结论，所以复杂度完全正确。假如是随机数据，则颜色段数量均摊为 \(O(\log{n})\)，注意前者为总均摊，这里说的随机数据为每时每刻均摊。其实也比较好理解，如果我的 \([l,r]\) 够长，那么其实跑出来就跟随机数据差不多了，够短只用到了遍历，最坏也仅仅是趋近于暴力，有根号分治那个思想的味道了。
那么这样一来就可以轻松地处理出修改和查询离线数据，我们的 \(cdq\) 本质是处理偏序问题的，注意到其实还有一个序：\(时间序\)，修改和查询的时间不能乱，这种序和数组下标序是差不多的，我们不需要刻意排序，直接按照对应的时间序下放就行。查询的时候，显然是 \(pre \le l-1\) 时，就加入 \(firstPos\) 这个点作为代表元贡献，其实可以看做就是一个带修版的 \(HH的项链\)，树状数组查询贡献，注意我们的每个查询要写两部分，写成前缀和作差的形式。在带修的基础上，加入了化段为点的思想，最后注意一些细节，比如离散化，初始化加入初始数组的 \((pre_i,i)\) 贡献。
最后注意到一个问题，也是最难的一个问题，我们初始 \(ODT\) 里面都是 \((i,i,val)\) 段长为 \(1\)，我们相同颜色段当做独立的，例如 \([1,1,1]\)，可以看做 \(3\) 个极长连续段，那么初始的时候我们 \(l \rightarrow l-1\) 建 \(pre\)，则会像链表一样 \(1\leftarrow2\leftarrow3\)，每个连续段颜色内部的 \(pre\) 是建好的，唯一需要建的则为 连接处 的 \(l\rightarrow l-1\)，它因为颜色覆盖变为了相同颜色，使得互相产生新的 \(pre\) 连接。
\(ODT\) 维护的段是连续的，只需要更改绿色部分的 \(pre\) 即可。顺便删除小段原有的贡献，这样之间的 \(pre\) 就正确了，再更改整段有关的 \(pre\) 就行了。其实删除操作，并不需要考虑当前段的 \(pre\) 变化，因为当前位置可能不再是代表元了，它的贡献已经无效的，如果加上，可能产生重复贡献，我们每个极长连续段只取开头元素作为代表元，相同颜色的连续段，我们规定长度为 \(1\) 即为极长连续段。
参照代码
#include <bits/stdc++.h>
// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
// #pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")
#define isPbdsFile
#ifdef isPbdsFile
#include <bits/extc++.h>
#else
#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/trie_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tag_and_trait.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/list_update_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/exception.hpp>
#include <ext/rope>
#endif
using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef tuple<int, int, int> tii;
typedef tuple<ll, ll, ll> tll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
#define hash1 unordered_map
#define hash2 gp_hash_table
#define hash3 cc_hash_table
#define stdHeap std::priority_queue
#define pbdsHeap __gnu_pbds::priority_queue
#define sortArr(a, n) sort(a+1,a+n+1)
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define yes cout<<"YES"
#define no cout<<"NO"
#define Spider ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
#define MyFile freopen("..\\input.txt", "r", stdin),freopen("..\\output.txt", "w", stdout);
#define forn(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define forv(i, a, b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ls(x) (x<<1)
#define rs(x) (x<<1|1)
#define endl '\n'
//用于Miller-Rabin
[[maybe_unused]] static int Prime_Number[13] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37};
template <typename T>
int disc(T* a, int n)
{
return unique(a + 1, a + n + 1) - (a + 1);
}
template <typename T>
T lowBit(T x)
{
return x & -x;
}
template <typename T>
T Rand(T l, T r)
{
static mt19937 Rand(time(nullptr));
uniform_int_distribution<T> dis(l, r);
return dis(Rand);
}
template <typename T1, typename T2>
T1 modt(T1 a, T2 b)
{
return (a % b + b) % b;
}
template <typename T1, typename T2, typename T3>
T1 qPow(T1 a, T2 b, T3 c)
{
a %= c;
T1 ans = 1;
for (; b; b >>= 1, (a *= a) %= c)if (b & 1)(ans *= a) %= c;
return modt(ans, c);
}
template <typename T>
void read(T& x)
{
x = 0;
T sign = 1;
char ch = getchar();
while (!isdigit(ch))
{
if (ch == '-')sign = -1;
ch = getchar();
}
while (isdigit(ch))
{
x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
x *= sign;
}
template <typename T, typename... U>
void read(T& x, U&... y)
{
read(x);
read(y...);
}
template <typename T>
void write(T x)
{
if (typeid(x) == typeid(char))return;
if (x < 0)x = -x, putchar('-');
if (x > 9)write(x / 10);
putchar(x % 10 ^ 48);
}
template <typename C, typename T, typename... U>
void write(C c, T x, U... y)
{
write(x), putchar(c);
write(c, y...);
}
template <typename T11, typename T22, typename T33>
struct T3
{
T11 one;
T22 tow;
T33 three;
bool operator<(const T3 other) const
{
if (one == other.one)
{
if (tow == other.tow)return three < other.three;
return tow < other.tow;
}
return one < other.one;
}
T3() { one = tow = three = 0; }
T3(T11 one, T22 tow, T33 three) : one(one), tow(tow), three(three)
{
}
};
template <typename T1, typename T2>
void uMax(T1& x, T2 y)
{
if (x < y)x = y;
}
template <typename T1, typename T2>
void uMin(T1& x, T2 y)
{
if (x > y)x = y;
}
struct Hash
{
static uint64_t splitmix64(uint64_t x)
{
x += 0x9e3779b97f4a7c15;
x = (x ^ x >> 30) * 0xbf58476d1ce4e5b9;
x = (x ^ x >> 27) * 0x94d049bb133111eb;
return x ^ x >> 31;
}
static size_t get(const uint64_t x)
{
static const uint64_t FIXED_RANDOM = chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count();
return splitmix64(x + FIXED_RANDOM);
}
template <typename T>
size_t operator()(T x) const
{
return get(std::hash<T>()(x));
}
template <typename F, typename S>
size_t operator()(pair<F, S> p) const
{
return get(std::hash<F>()(p.first)) ^ std::hash<S>()(p.second);
}
};
constexpr int N = 2e5 + 10;
int n, q;
struct Query
{
int pre, firstPos, val, queryId;
bool operator<(const Query& other) const
{
return pre < other.pre;
}
} old[N], qu[N << 3];
int ans[N];
int mx, idx, queryIdx;
struct ODT
{
int l, r;
mutable int val;
bool operator<(const ODT& other) const
{
return l < other.l;
}
};
set<ODT> node; //ODT维护连续颜色段
set<pii> color[N]; //color颜色段桶
set<int> ord; //离散化
hash2<int, int, Hash> mp;
int pre[N], a[N];
//增加一个修改
inline void addUpdate(const int pos, const int val)
{
qu[++idx] = Query(pre[pos], pos, val);
}
//pre变化
inline void updatePre(const int pos, const int prePos)
{
addUpdate(pos, -1), pre[pos] = prePos, addUpdate(pos, 1);
}
//保证二者维护段的形态一致,方便做贡献修改
inline auto split(const int pos)
{
auto it = node.lower_bound(ODT(pos, 0, 0));
if (it != node.end() and it->l == pos)return it;
--it;
if (it->r < pos)return node.end();
auto [l,r,val] = *it;
color[val].erase(pii(l, r));
color[val].insert(pii(l, pos - 1)), color[val].insert(pii(pos, r));
node.erase(it), node.insert(ODT(l, pos - 1, val));
return node.insert(ODT(pos, r, val)).first;
}
//变化前后
inline void add(const int c, const int l, const int r)
{
auto& curr = color[c];
auto it = curr.lower_bound(pii(l, 0));
if (it != curr.end())updatePre(it->first, r); //在它之后的更新第一个的pre
int prePos = 0;
if (it != curr.begin())--it, prePos = it->second; //在它之前的让当前第一个位置l的pre变为它,否则为0
updatePre(l, prePos);
curr.insert(pii(l, r));
}
//变化后面的
inline void del(const int c, const int l, const int r)
{
//删除只有在它之后的位置的pre发生了变化
auto& curr = color[c];
curr.erase(pii(l, r));
auto it = curr.lower_bound(pii(l, 0));
if (it == curr.end())return; //在它之后没有的就不更新了
int prePos = 0;
auto [L,R] = *it;
if (it != curr.begin())--it, prePos = it->second;
updatePre(L, prePos); //在它之后的那个段开头更新为前一个剩余段的开头
}
int bit[N];
inline void add(int x, const int val)
{
while (x <= n)bit[x] += val, x += lowBit(x);
}
inline int query(int x)
{
int ans = 0;
while (x)ans += bit[x], x -= lowBit(x);
return ans;
}
inline void cdq(const int L, const int R)
{
const int mid = L + R >> 1;
if (L == R)return;
cdq(L, mid), cdq(mid + 1, R);
stable_sort(qu + L, qu + mid + 1), stable_sort(qu + mid + 1, qu + R + 1);
int l = L;
forn(r, mid+1, R)
{
auto [qL,qR,val,queryId] = qu[r];
if (!queryId)continue;
while (l <= mid and qu[l].pre <= qL)
{
if (!qu[l].queryId)add(qu[l].firstPos, qu[l].val);
l++;
}
ans[queryId] += query(qR) * val;
}
forn(i, L, l-1)if (!qu[i].queryId)add(qu[i].firstPos, -qu[i].val);
}
int pos[N];
inline void solve()
{
cin >> n >> q;
forn(i, 1, n)cin >> a[i], ord.insert(a[i]);
forn(i, 1, q)
{
auto& [l,r,val,op] = old[i];
cin >> op >> l >> r;
if (op == 1)cin >> val, ord.insert(val);
}
for (const auto v : ord)mp[v] = ++mx; //离散化
forn(i, 1, n)
{
a[i] = mp[a[i]];
node.insert(ODT(i, i, a[i]));
if (pos[a[i]])pre[i] = pos[a[i]];
pos[a[i]] = i;
color[a[i]].insert(pii(i, i));
addUpdate(i, 1); //初始数组的(pre[i],i)贡献
}
forn(i, 1, q)
{
auto& [l,r,val,op] = old[i];
if (op == 1)
{
val = mp[val];
auto itR = split(r + 1), itL = split(l);
//每一个和它前面的段进行修改pre
auto it = itL;
del(it->val, it->l, it->r); //第一个段的pre是在之前的了
//这里比较有意思,初始是1的段长,覆盖时自然而然就会连接了
for (++it; it != itR; ++it)updatePre(it->l, it->l - 1), del(it->val, it->l, it->r);
node.erase(itL, itR), node.insert(ODT(l, r, val));
add(val, l, r);
}
else
{
//前缀和作差,Ans(0~r)-Ans(0~l-1)
//pre<l =>pre<=l-1
qu[++idx] = Query(l - 1, r, 1, ++queryIdx);
qu[++idx] = Query(l - 1, l - 1, -1, queryIdx);
}
}
cdq(1, idx);
forn(i, 1, queryIdx)cout << ans[i] << endl;
}
signed int main()
{
// MyFile
Spider
//------------------------------------------------------
// clock_t start = clock();
int test = 1;
// read(test);
// cin >> test;
forn(i, 1, test)solve();
// while (cin >> n, n)solve();
// while (cin >> test)solve();
// clock_t end = clock();
// cerr << "time = " << double(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;
}
