P2487 [SDOI2011] 拦截导弹 题解
题目链接:拦截导弹
约定:
本题中提到的 \(LDS\) 和 \(LIS\) 不是严格单调,而是非严格单调,即为 \(\le 或者 \ge\)。
比较神奇的题,问的东西比较多,我们逐渐拆分:
对于第一个问题而言,这个 dp 方程是很好写的:
其中 \(dp[i]\) 即为以 \(i\) 结尾的最多导弹数。那么答案显然即为 \(\max{dp}\),这玩意和最长递增子序列那些都是差不多的,注意到转移条件为三维偏序,那么我们使用 \(cdq分治\) 优化成 \(n\log^2{n}\) 就行了,比较经典。
注意第二个问题问的概率,对于某个导弹被记录的概率,首先需要知道包括这个导弹的总方案数,以及总方案数中有多少个方案是可以击落的。注意,此时此刻问的方案数都是基于第一问的最长的那个 \(LDS\) 的基础上而言,所以我们还要考虑当前点是否有 \(LDS\) 的构造方案。
听上去比较复杂是吧,我们注意到一个 \(LDS\) 可以被拆为两个 \(LDS\) 拼接。
如图所示,如果 \(i\) 是在 \(LDS\) 当中,那么一定可以分为两部分,以 \(i\) 结尾的 \(LDS\) 和以 \(i\) 开头的 \(LDS\),如果我们的红色方案数为 \(x\),蓝色的为 \(y\),则包含 \(i\) 的 \(LDS\) 的方案数即为 \(x \times y\)。而总方案数,其实在第一个问题当中,也可以一并算出来了。
注意到难点,关于 \(i\) 开头的 \(LDS\) 并无法直接 \(dp\) 得到,因为我们的 \(dp\) 为了维持无后效性,那么思考下以 \(i\) 开头的 \(LDS\) 如果我们从右往左看,它就是以 \(i\) 结尾的 \(LIS\),那么从右往左 \(dp\) 就对了:
严格地注意严格不等式和非严格不等式,只需要 \(bit\) 维护最值 \(dp\) 和对应方案数即可。做两遍 \(cdq\) 优化这两者 \(dp\)。像第一维这种和下标有关的序,我们直接按照下标序写就行了,这样就不需要再单独写这个序的排序函数。当然值域很大,顺便离散化一下。
这题码量重复性的东西比较多,码量不小,简单说说。
对于 \(cdq分治\) 优化 dp 具体经典思路,是基于中序遍历分治树,在访问完左子树时开始更新,注意一点,原偏移量为了保证第一层偏序,所以并不能直接排序,因为我们不是传统的 \(cdq\) 分治为后序遍历分治树,在中序遍历右子树时,如果还是按以往那种偏序,会破坏掉第一层偏序,导致访问右子树时计算不出答案。我们通常做法是记录下标,然后将下标按照序进行排序,这样第一层偏序就会在统计时依旧保证正确。这是一个经典的套路,用 \(cdq分治\) 优化带有偏序转移的 \(dp\) 问题。
关于用线段树还是树状数组好,一般树状数组就行了,其实这个问题抽象一下,询问一块值域内,最大的区间最大值,以及区间最大值的个数。这玩意线段树很好写 pushUp,分讨一下就行了,树状数组改为维护前后缀最值就行了。一般只涉及前后缀最值,都习惯用树状数组。
最终统计答案时,很显然只有前后缀最长拼起来:
最后,值域很大,老规矩离散化一下,然后注意第二组 \(dp\) 的第一维偏序,要取反,所以我们取答案的时候也是取反后的下标去取。然后用 stable_sort 可以避免严格偏序问题,可以省一些代码,我个人很多合在一起写了,代码上很简略。当然手写归并数组之类的也行,本处直接调稳定排序函数了。
参照代码
#include <bits/stdc++.h>
// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
// #pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")
#define isPbdsFile
#ifdef isPbdsFile
#include <bits/extc++.h>
#else
#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/trie_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tag_and_trait.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/list_update_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/exception.hpp>
#include <ext/rope>
#endif
using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef tuple<int, int, int> tii;
typedef tuple<ll, ll, ll> tll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
#define hash1 unordered_map
#define hash2 gp_hash_table
#define hash3 cc_hash_table
#define stdHeap std::priority_queue
#define pbdsHeap __gnu_pbds::priority_queue
#define sortArr(a, n) sort(a+1,a+n+1)
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define yes cout<<"YES"
#define no cout<<"NO"
#define Spider ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
#define MyFile freopen("..\\input.txt", "r", stdin),freopen("..\\output.txt", "w", stdout);
#define forn(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define forv(i, a, b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ls(x) (x<<1)
#define rs(x) (x<<1|1)
#define endl '\n'
//用于Miller-Rabin
[[maybe_unused]] static int Prime_Number[13] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37};
template <typename T>
int disc(T* a, int n)
{
return unique(a + 1, a + n + 1) - (a + 1);
}
template <typename T>
T lowBit(T x)
{
return x & -x;
}
template <typename T>
T Rand(T l, T r)
{
static mt19937 Rand(time(nullptr));
uniform_int_distribution<T> dis(l, r);
return dis(Rand);
}
template <typename T1, typename T2>
T1 modt(T1 a, T2 b)
{
return (a % b + b) % b;
}
template <typename T1, typename T2, typename T3>
T1 qPow(T1 a, T2 b, T3 c)
{
a %= c;
T1 ans = 1;
for (; b; b >>= 1, (a *= a) %= c)if (b & 1)(ans *= a) %= c;
return modt(ans, c);
}
template <typename T>
void read(T& x)
{
x = 0;
T sign = 1;
char ch = getchar();
while (!isdigit(ch))
{
if (ch == '-')sign = -1;
ch = getchar();
}
while (isdigit(ch))
{
x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
x *= sign;
}
template <typename T, typename... U>
void read(T& x, U&... y)
{
read(x);
read(y...);
}
template <typename T>
void write(T x)
{
if (typeid(x) == typeid(char))return;
if (x < 0)x = -x, putchar('-');
if (x > 9)write(x / 10);
putchar(x % 10 ^ 48);
}
template <typename C, typename T, typename... U>
void write(C c, T x, U... y)
{
write(x), putchar(c);
write(c, y...);
}
template <typename T11, typename T22, typename T33>
struct T3
{
T11 one;
T22 tow;
T33 three;
bool operator<(const T3 other) const
{
if (one == other.one)
{
if (tow == other.tow)return three < other.three;
return tow < other.tow;
}
return one < other.one;
}
T3() { one = tow = three = 0; }
T3(T11 one, T22 tow, T33 three) : one(one), tow(tow), three(three)
{
}
};
template <typename T1, typename T2>
void uMax(T1& x, T2 y)
{
if (x < y)x = y;
}
template <typename T1, typename T2>
void uMin(T1& x, T2 y)
{
if (x > y)x = y;
}
struct Hash
{
static uint64_t splitmix64(uint64_t x)
{
x += 0x9e3779b97f4a7c15;
x = (x ^ x >> 30) * 0xbf58476d1ce4e5b9;
x = (x ^ x >> 27) * 0x94d049bb133111eb;
return x ^ x >> 31;
}
static size_t get(const uint64_t x)
{
static const uint64_t FIXED_RANDOM = chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count();
return splitmix64(x + FIXED_RANDOM);
}
template <typename T>
size_t operator()(T x) const
{
return get(std::hash<T>()(x));
}
template <typename F, typename S>
size_t operator()(pair<F, S> p) const
{
return get(std::hash<F>()(p.first)) ^ std::hash<S>()(p.second);
}
};
constexpr int N = 5e4 + 10;
typedef pair<int, double> pid;
inline void Max(pid& x, const pid& y)
{
if (x.first < y.first)x = y;
else if (x.first == y.first)x.second += y.second;
}
int idx;
hash2<int, int, Hash> mp;
enum Type
{
Pre = 0, Suf = 1
};
struct
{
pid bit[2][N]; //0是前缀最值,1是后缀最值
void add(int x, const pid& val, const Type& id)
{
if (id == Pre)while (x <= idx)Max(bit[id][x], val), x += lowBit(x);
else while (x)Max(bit[id][x], val), x -= lowBit(x);
}
pid query(int x, const Type& id) const
{
pid ans;
if (id == Pre)while (x)Max(ans, bit[id][x]), x -= lowBit(x);
else while (x <= idx)Max(ans, bit[id][x]), x += lowBit(x);
return ans;
}
void clear(int x, const Type& id)
{
constexpr pid zero;
if (id == Pre)while (x <= idx)bit[id][x] = zero, x += lowBit(x);
else while (x)bit[id][x] = zero, x -= lowBit(x);
}
} Bit;
//1.hL>=hR,vL>=vR
//2.hL<=hR,vL<=vR
struct DP
{
int h, v;
pid ans;
} dp1[N], dp2[N];
int tmp[N];
inline bool cmp1(const int x, const int y)
{
return dp1[x].h >= dp1[y].h;
}
inline bool cmp2(const int x, const int y)
{
return dp2[x].h <= dp2[y].h;
}
inline void cdq(const int L, const int R, const Type type = Suf)
{
const int mid = L + R >> 1;
if (L == R)return;
cdq(L, mid, type);
auto dp = type == Suf ? dp1 : dp2;
auto cmp = type == Suf ? cmp1 : cmp2;
forn(i, L, R)tmp[i] = i;
stable_sort(tmp + L, tmp + mid + 1, cmp), stable_sort(tmp + mid + 1, tmp + R + 1, cmp);
int l = L;
forn(r, mid+1, R)
{
while (l <= mid and cmp(tmp[l], tmp[r]))Bit.add(dp[tmp[l]].v, dp[tmp[l]].ans, type), l++;
auto other = Bit.query(dp[tmp[r]].v, type);
other.first++;
Max(dp[tmp[r]].ans, other);
}
forn(i, L, l-1)Bit.clear(dp[tmp[i]].v, type);
cdq(mid + 1, R, type);
}
int n;
set<int> ord;
int h[N], v[N];
inline void solve()
{
cin >> n;
forn(i, 1, n)
{
cin >> h[i] >> v[i];
ord.insert(h[i]), ord.insert(v[i]);
}
for (const auto v : ord)mp[v] = ++idx;
forn(i, 1, n)
{
h[i] = mp[h[i]], v[i] = mp[v[i]];
dp1[i] = DP(h[i], v[i], pid(1, 1));
dp2[n - i + 1] = DP(h[i], v[i], pid(1, 1));
}
cdq(1, n, Pre), cdq(1, n, Suf);
pid ans;
forn(i, 1, n)Max(ans, dp1[i].ans);
auto [maxLen,cntAll] = ans;
cout << maxLen << endl;
cout << fixed << setprecision(5);
forn(i, 1, n)
{
auto [pre,cnt1] = dp1[i].ans;
auto [suf,cnt2] = dp2[n - i + 1].ans;
cout << (pre + suf - 1 == maxLen ? cnt1 * cnt2 / cntAll : 0) << ' ';
}
}
signed int main()
{
// MyFile
Spider
//------------------------------------------------------
// clock_t start = clock();
int test = 1;
// read(test);
// cin >> test;
forn(i, 1, test)solve();
// while (cin >> n, n)solve();
// while (cin >> test)solve();
// clock_t end = clock();
// cerr << "time = " << double(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;
}