CF55D Beautiful numbers 题解
题目链接：CF 或者 洛谷
常见知识点组合经典题。
首先，一眼数位 dp 类型题，考虑需要处理些怎样的判断合法数位信息。
经典操作
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对于跟整除有关的判断，数位 dp 为了减少使用空间，都可以考虑记忆化模数减少空间开销。
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对于整除若干个数，即整除这若干个数的最小公倍数即可，是一个非常常用的结论，证明也非常简单，\(x\) 整除一个数 \(a_i\)，相当于 \(x=k\times a_i(k \ge 1)\)，那么整除若干个上数，即为若干个数的共同倍数，如果是共同倍数中最小的 \(lcm\) 的倍数，显然满足。
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对于一个数来说，它的因子数量并不是很多：
- 对于一个集合的 \(lcm_{max}\) 来说，任意子集的 \(lcm\) 都为 \(lcm_{max}\) 的因子。证明很简单，不妨设当前子集的 \(lcm\) 为 \(lcm_x\)，对全集的补集的 \(lcm\) 为 \(lcm_y\)，则有 \(lcm(lcm_x,lcm_y)=lcm_{max}\)，所以 \(lcm_x\) 为 \(lcm_{max}\) 的因子。即 \(lcm_{max} \bmod lcm_x=0\)。
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观察到整除最坏的情况即为：\(val \bmod lcm(1,2,3,4,5,6,7,8,9)=0\)。
而 \(lcm_{max}=lcm(1,2,3,4,5,6,7,8,9)=2520\)。所以如果我们的 \(val=k \times lcm_{max}+t \bmod lcm_x=0 \Rightarrow\) \(t \bmod lcm_x = 0\)，显然 \(t,lcm_x \le 2520=lcm_{max}\)，当然余数 \(t\) 是无法取等的。
这样一来我们其实可以记忆化搜索 \(memo[从高到低的第几位][余数\ t][lcm_x]\) 为答案，这样的空间需求为 \(20 \times 2520^2\) 非常大，我们注意到第三点和第四点，\(lcm_x\) 即为 \(2520\) 的因子，数量大概为 \(50\) 个左右，预处理离散化一下，这样空间需求即为 \(20 \times 2520 \times 50\)。这里稍微注意下，我们记忆化的第一个数为下标，这里下标显然是从小到大的，因为我们将若干个数如果按从大到小，那么显然他们的第 \(i\) 位数不一定都是相同进制位，比如 \(111,11\) 的 \(i=1\) 不一定都是十进制位。从小到大就对了。然后注意到 \(lcm(0,x)\) 会 re，特判下就好了，初始各个的 \(lcm_x\) 为 \(1\) 即可。由于对于前面若干段的 \(0\) 的模数并没有变化，所以并不需要考虑前导 \(0\) 的影响。一般来说例如计算串中某个字符的个数需求，这类 非最高位的 \(0\) 是需要计入需求的，就要考虑前导 \(0\) 的影响了。当然了，范围比较小，\(lcm\) 也可以预处理，比如打表也是可行的，这里我就没预处理了。如果初始化 lcm 为 \(1\)，那么只有一种可能被忽略掉答案，那就是全选 \(0\) 时，导致最后结果的 lcm 不正确了，但很显然 \(0\) 的影响一定会因为求区间答案作差给去掉，所以并不需要记忆化 \(0\) 的影响，而 \(1\) 和其他数的 lcm 恰好就是其他数自身了。
参照代码
#include <bits/stdc++.h>
// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
// #pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")
// #define isPbdsFile
#ifdef isPbdsFile
#include <bits/extc++.h>
#else
#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/trie_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tag_and_trait.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/list_update_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/exception.hpp>
#include <ext/rope>
#endif
using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef tuple<int, int, int> tii;
typedef tuple<ll, ll, ll> tll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
#define hash1 unordered_map
#define hash2 gp_hash_table
#define hash3 cc_hash_table
#define stdHeap std::priority_queue
#define pbdsHeap __gnu_pbds::priority_queue
#define sortArr(a, n) sort(a+1,a+n+1)
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define yes cout<<"YES"
#define no cout<<"NO"
#define Spider ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
#define MyFile freopen("..\\input.txt", "r", stdin),freopen("..\\output.txt", "w", stdout);
#define forn(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define forv(i, a, b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ls(x) (x<<1)
#define rs(x) (x<<1|1)
#define endl '\n'
//用于Miller-Rabin
[[maybe_unused]] static int Prime_Number[13] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37};
template <typename T>
int disc(T* a, int n)
{
return unique(a + 1, a + n + 1) - (a + 1);
}
template <typename T>
T lowBit(T x)
{
return x & -x;
}
template <typename T>
T Rand(T l, T r)
{
static mt19937 Rand(time(nullptr));
uniform_int_distribution<T> dis(l, r);
return dis(Rand);
}
template <typename T1, typename T2>
T1 modt(T1 a, T2 b)
{
return (a % b + b) % b;
}
template <typename T1, typename T2, typename T3>
T1 qPow(T1 a, T2 b, T3 c)
{
a %= c;
T1 ans = 1;
for (; b; b >>= 1, (a *= a) %= c)if (b & 1)(ans *= a) %= c;
return modt(ans, c);
}
template <typename T>
void read(T& x)
{
x = 0;
T sign = 1;
char ch = getchar();
while (!isdigit(ch))
{
if (ch == '-')sign = -1;
ch = getchar();
}
while (isdigit(ch))
{
x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
x *= sign;
}
template <typename T, typename... U>
void read(T& x, U&... y)
{
read(x);
read(y...);
}
template <typename T>
void write(T x)
{
if (typeid(x) == typeid(char))return;
if (x < 0)x = -x, putchar('-');
if (x > 9)write(x / 10);
putchar(x % 10 ^ 48);
}
template <typename C, typename T, typename... U>
void write(C c, T x, U... y)
{
write(x), putchar(c);
write(c, y...);
}
template <typename T11, typename T22, typename T33>
struct T3
{
T11 one;
T22 tow;
T33 three;
bool operator<(const T3 other) const
{
if (one == other.one)
{
if (tow == other.tow)return three < other.three;
return tow < other.tow;
}
return one < other.one;
}
T3() { one = tow = three = 0; }
T3(T11 one, T22 tow, T33 three) : one(one), tow(tow), three(three)
{
}
};
template <typename T1, typename T2>
void uMax(T1& x, T2 y)
{
if (x < y)x = y;
}
template <typename T1, typename T2>
void uMin(T1& x, T2 y)
{
if (x > y)x = y;
}
constexpr int MX = 2520;
ll memo[20][MX | 1][50];
int mp[MX | 1];
int idx;
inline void init()
{
forn(i, 1, sqrt(MX))
{
if (MX % i == 0)
{
mp[i] = ++idx;
if (MX / i != i)mp[MX / i] = ++idx;
}
}
}
inline ll dfs(const string& s, const int idx, const int mxMOD, const int digLCM, const bool isLimit)
{
if (idx == s.length())return mxMOD % digLCM == 0;
const int currIdx = s.length() - idx - 1;
if (!isLimit and ~memo[currIdx][mxMOD][mp[digLCM]])return memo[currIdx][mxMOD][mp[digLCM]];
const int up = isLimit ? s[idx] ^ 48 : 9;
ll ans = 0;
forn(i, 0, up)
{
const int nxtMOD = (mxMOD * 10 + i) % MX;
const int nxtLCM = i ? lcm(digLCM, i) : digLCM;
ans += dfs(s, idx + 1, nxtMOD, nxtLCM, isLimit and i == up);
}
return isLimit ? ans : memo[currIdx][mxMOD][mp[digLCM]] = ans;
}
ll l, r;
inline void solve()
{
cin >> l >> r;
l--;
string L = to_string(l);
string R = to_string(r);
cout << dfs(R, 0, 0, 1, true) - dfs(L, 0, 0, 1, true) << endl;
}
signed int main()
{
// MyFile
Spider
//------------------------------------------------------
// clock_t start = clock();
init();
memset(memo, -1, sizeof memo);
int test = 1;
// read(test);
cin >> test;
forn(i, 1, test)solve();
// while (cin >> n, n)solve();
// while (cin >> test)solve();
// clock_t end = clock();
// cerr << "time = " << double(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;
}
\[单个\ test\ 时间复杂度为:\ O(\log^2{V_{max}})),第二支\ \log 准确为\ \log{lcm_{max}}
\]
