CF1916E Happy Life in University 题解

题目: CF1916E Happy Life in University

链接: 洛谷或者 CF

前置知识点: 线段树与HH的项链

先简单回顾下HH的项链这题怎么做的吧。先去掉莫队算法，因为这个不是最优的解法。来说说利用树状数组或者线段树怎么处理查询 $[l,r]$ 上的不同数的数目值。首先值域$1 \sim n$，那么哈希表就不需要了，可以开数组维护一些和权值有关的信息。

先来看一张图。对于 $x$ 而言，假如上述标的第一个 $x$ 为它在进入 $L$ 前最后出现的位置，而第二个 $x$ 为在进入待查询区间 $[L,R]$ 的第一个 $x$。那么很显然的是，第一个 $x$ 并不会对这个 $[L,R]$ 造成 $1$ 的贡献。其次再来考虑在 $[L,R]$ 中如果重复出现了 $x$ 该如何去掉重复的贡献。很显然的一种思想是在这个查询区间 $[L,R]$ 上，后出现的 $x$ 会代替掉前出现的 $x$ 的贡献 $1$。那么很自然的一种思想就是“离线”。把查询离线下来，从 $1 \sim n$ 跑扫描线更新查询。在更新时我们可以维护“每个值出现的最后一次的位置”。这样一来在更新 $last$ 的时候可以清楚地去掉“前面的贡献”而增加进“当前的贡献”。

算法核心思路:

用一个 $last$ 数组记录下每个值出现的最后一次位置。并把查询离线下来从 $1 \sim n$ 进行更新。对于每个 $[l,r]$ 而言，我们在更新时显而易见的可以拿到 $[1,r]$ 的贡献情况，进行区间查询 $[l,r]$ 就行了。具体的每一个 $last[val[curr]]$ 更新时去掉它原有的贡献，用新的一个位置 $last$ 的贡献代替它的贡献就行了。

HH的项链关于上述经典算法的参考代码

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>

//#pragma GCC optimize("Ofast,unroll-loops")

#define isPbdsFile

#ifdef isPbdsFile

#include <bits/extc++.h>

#else

#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/trie_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tag_and_trait.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/list_update_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/exception.hpp>
#include <ext/rope>

#endif

using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef tuple<int, int, int> tii;
typedef tuple<ll, ll, ll> tll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
#define hash1 unordered_map
#define hash2 gp_hash_table
#define hash3 cc_hash_table
#define stdHeap std::priority_queue
#define pbdsHeap __gnu_pbds::priority_queue
#define sortArr(a, n) sort(a+1,a+n+1)
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define yes cout<<"YES"
#define no cout<<"NO"
#define Spider ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
#define MyFile freopen("..\\input.txt", "r", stdin),freopen("..\\output.txt", "w", stdout);
#define forn(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define forv(i, a, b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ls(x) (x<<1)
#define rs(x) (x<<1|1)
#define endl '\n'
//用于Miller-Rabin
[[maybe_unused]] static int Prime_Number[13] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37};

template <typename T>
int disc(T* a, int n)
{
    return unique(a + 1, a + n + 1) - (a + 1);
}

template <typename T>
T lowBit(T x)
{
    return x & -x;
}

template <typename T>
T Rand(T l, T r)
{
    static mt19937 Rand(time(nullptr));
    uniform_int_distribution<T> dis(l, r);
    return dis(Rand);
}

template <typename T1, typename T2>
T1 modt(T1 a, T2 b)
{
    return (a % b + b) % b;
}

template <typename T1, typename T2, typename T3>
T1 qPow(T1 a, T2 b, T3 c)
{
    a %= c;
    T1 ans = 1;
    for (; b; b >>= 1, (a *= a) %= c)if (b & 1)(ans *= a) %= c;
    return modt(ans, c);
}

template <typename T>
void read(T& x)
{
    x = 0;
    T sign = 1;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch))
    {
        if (ch == '-')sign = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (isdigit(ch))
    {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    x *= sign;
}

template <typename T, typename... U>
void read(T& x, U&... y)
{
    read(x);
    read(y...);
}

template <typename T>
void write(T x)
{
    if (typeid(x) == typeid(char))return;
    if (x < 0)x = -x, putchar('-');
    if (x > 9)write(x / 10);
    putchar(x % 10 ^ 48);
}

template <typename C, typename T, typename... U>
void write(C c, T x, U... y)
{
    write(x), putchar(c);
    write(c, y...);
}


template <typename T11, typename T22, typename T33>
struct T3
{
    T11 one;
    T22 tow;
    T33 three;

    bool operator<(const T3 other) const
    {
        if (one == other.one)
        {
            if (tow == other.tow)return three < other.three;
            return tow < other.tow;
        }
        return one < other.one;
    }

    T3() { one = tow = three = 0; }

    T3(T11 one, T22 tow, T33 three) : one(one), tow(tow), three(three)
    {
    }
};

template <typename T1, typename T2>
void uMax(T1& x, T2 y)
{
    if (x < y)x = y;
}

template <typename T1, typename T2>
void uMin(T1& x, T2 y)
{
    if (x > y)x = y;
}

constexpr int N = 1e6 + 10;
int bit[N];
int n;

inline void add(int x, const int v)
{
    for (; x <= n; x += lowBit(x))bit[x] += v;
}

inline int query(int x)
{
    int ans = 0;
    for (; x; x -= lowBit(x))ans += bit[x];
    return ans;
}

int val[N], last[N];
vector<pii> qu[N];
int ans[N];

inline void solve()
{
    cin >> n;
    forn(i, 1, n)cin >> val[i];
    int q;
    cin >> q;
    forn(i, 1, q)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        qu[r].emplace_back(l, i);
    }
    forn(r, 1, n)
    {
        if (int preLast = last[val[r]])add(preLast, -1);
        add(last[val[r]] = r, 1);
        for (const auto [l,id] : qu[r])ans[id] = query(r) - query(l - 1);
    }
    forn(i, 1, q)cout << ans[i] << endl;
}

signed int main()
{
    Spider
    //------------------------------------------------------
    int test = 1;
    //    read(test);
    // cin >> test;
    forn(i, 1, test)solve();
    //    while (cin >> n, n)solve();
    //    while (cin >> test)solve();
}

序列上的这种更新与查询当然树状数组和线段树都行啦。

正文

本文约定俗称：我们将一条路径上不同数的数目叫做“HH的项链”。
其实CF这题就是一个典型的树上HH项链问题，需要稍微转化下。

首先一个显而易见的贪心就是，对于一个 $LCA$ 它的两个 $dff$ 值的 $u \text{与} v$ 的选取，应该取叶子节点。因为很显而易见的是，HH的项链与长度的关系是单调不降的。长度越长才越有可能越大。而题目给的 $dff$ 函数不就是HH的项链吗？

树上问题怎么变序列问题？dfs序，树剖，很多很多。这里选择dfs序，并且涉及到了区间修改，我们这题采用线段树书写。考虑一下，处理dfs序以后，根据上述贪心和HH项链的基本离线思路，我们应该从叶子节点开始往上算到每个节点的HH项链值，然后嘛就很简单了。只需要记录更新到 $LCA$ 的最大值，因为HH的项链是单调不降的，所以一定有以下结论:

\[ diff(LCA,son_i) \ge diff(LCA_{son},son_i) \text{,$son_i$为任意一个子孙节点} \]

即 $LCA$ 所在子树的其他点到同一个叶子节点的HH的项链并不会优于从 $LCA$ 到叶子节点的HH的项链。
那么次大值只有可能在更新最大值之前取到。所以只需要在更新当前 $LCA$ 全局最大值时将当前用于即将更新最大值的数进行更新答案，再更新下最大值即可。

最后考虑下上述的删除时机和添加时机如何搬到树上，很简单。这里需要类比几个点。

对于一个 $LCA$ 而言，它的贡献范围显然是“以它为根的子树”。这点 dfs序+线段树可以轻松做到+1
从哪开始更新，或者说像上述一样该从哪开始扫描进入。显然根据上述应该从叶子节点开始往上去更新HH的项链值。
什么时候是删除时机？很显然的是当子树的 $last$ 被父树的 $last$ 更新时，就该去掉了，其实这个可以预处理出来。只需要为每个点维护一个 $del$ 数组，表示的是当更新到这个节点时需要去掉哪几个子树节点的“贡献”。dfs从上往下，每需要更新一个 $last$ 我们需要反过来写，父节点当中待删除的 $del$ 数组加入当前节点。
注意到对于一个节点而言，它的子树之间互不影响，所以在退出这棵子树的dfs时需要恢复它的 $last$

del数组预处理核心逻辑代码

int preLast = last[val[curr]];
if (preLast)del[preLast].push_back(curr); //HH项链扫描线的删除
last[val[curr]] = curr;

至此算法框架完成，细节见代码注释