什么是数学(一)
一、数学归纳法
A1、A2、A3…
a) 如果r是任意正整数，且命题Ar已知是真，则可推出命题Ar+1也真
b)A1为真
则序列的所有命题为真
分别用数学归纳法和中学的方法推一下等差等比公式，再可证下面公式
对p>-1的任意数成立
左右两边同乘以(1+p)
二项式定理
素数
1.素数无穷多个。(反证法) A=p1p2..pn+1也是素数
2.数N的素因子分解是唯一的
反证法: 若不唯一，则存在能分解为两种不同素数乘积的正整数，而这样的正整数中必有一个最小的m
m=p1p2..pr = q1q2..qs 使p1<=p2<=..<=pr, q1<=q2<=..<=qs
p1不能等于q1，如果相等，则必然存在比m更小的能分解为两种不同素数乘积的正整数，与假设矛盾。
现假设p1<q1
m’=m-p1q2..qs
m’=p1(p2p3..pr-q2q3..qs)
m’=(q1-p1)q2q3..qs
p1必然是m’的素因子，而m’<m，所以根据假设，m‘的素因子分解必然是唯一的，
所以q1-p1=p1h，即q1=p1(h+1), 但q1是素数与已知矛盾。所以命题得证。
3. An表示1,2,3..n中素数的个数。
随着n的增大，越来越接近。 ln n为xy=1，x=1，x=n围成的面积
4.哥德巴赫猜想:任何素数都可表示为两个素数的和
同余
等价 
如果
则
整除问题:
1)整数z能否被11整除？
所以只要t能被11整除，则z也能被11整除
2)类似的被3或9整除，
3) 被7整除？被13整除??
费马定理
如果p是任意一个不能整除整数a的素数，则
二次剩余
毕达哥拉斯数
欧几里得辗转相除法
最大公约数gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，
gcd(a,b)=gcd(rn,0)=rn
gcd(a,b)能找到正的或负的整数k,l,使
gcd(a,b)=ka+lb
gcd(a,b)=1,即a与b是互素的，gcd(a,b)=ka+lb=1
欧拉函数
q(n)表示在1到n中与n互素的整数的个数
如果p是素数，则q(p)=p-1
合数n
