Splay

上午刚学了Splay，写篇博客
首先感谢yyb大佬的讲解；
另外，这篇博客也有多处调用；

基本旋转操作

直接看大佬总结：
1.X变到原来Y的位置
2.Y变成了 X原来在Y的 相对的那个儿子
3.Y的非X的儿子不变 X的 X原来在Y的 那个儿子不变
4.X的 X原来在Y的 相对的 那个儿子 变成了 Y原来是X的那个儿子

void rotate(int x){
	int y=t[x].ff;
	int z=t[y].ff;
	int k=t[y].ch[1]==x;//k表示x在y的哪个儿子,0表示左二子,1表示右儿子; 
	t[z].ch[t[z].ch[1]==y]=x;//y原来的位置变为x; 
	t[x].ff=z;//x的父亲变为z; 
	t[y].ch[k]=t[x].ch[k^1];//与k相反方向的x的儿子,成为为y的k方向的儿子; 
	t[t[x].ch[k^1]].ff=y;
	t[x].ch[k^1]=y;//k相反方向的x的儿子变为y; 
	t[y].ff=x;
	up(y),up(x);//旋转完之后siz会改变 ,所以更新一下 ,注意先更新y,再更新x;
}

Splay操作

大佬总结的很精辟
对于XYZ的不同情况，可以自己画图考虑一下，
如果要把X旋转到Z的位置应该如何旋转

归类一下，其实还是只有两种：
第一种，X和Y分别是Y和Z的同一个儿子
第二种，X和Y分别是Y和Z不同的儿子

对于情况一，也就是类似上面给出的图的情况，就要考虑先旋转Y再旋转X
对于情况二，自己画一下图，发现就是对X旋转两次，先旋转到Y再旋转到X

这样一想，对于splay旋转6种情况中的四种就很简单的分了类
其实另外两种情况很容易考虑，就是不存在Z节点，也就是Y节点就是Splay的根了
此时无论怎么样都是对于X向上进行一次旋转

void splay(int x,int goal){
	while(t[x].ff!=goal){
		int y=t[x].ff,z=t[y].ff;
		if(z!=goal) (t[z].ch[0]==y)^(t[y].ch[0]==x)?rotate(x):rotate(y);//不同方向旋转y,相同旋转x; 
		rotate(x);//最后都要旋转y; 
	}
	if(goal==0) root=x;//别忘了这里 
}

插入操作

先找一下这个数的位置，再判断这个位置是否有值

void insert(int x){
	int u=root,ff=0;
	while(u&&t[u].val!=x){
		ff=u;
		u=t[u].ch[x>t[u].val];//不短找 
	}
	if(u) t[u].cnt++;//如果之前这个节点存在,直接cnt++; 
	else {
		u=++tot;//否则新建一个节点; 
		if(ff) t[ff].ch[x>t[ff].val]=u;
		t[u].ch[0]=t[u].ch[1]=0;
		t[u].cnt=1;
		t[u].siz=1;
		t[u].ff=ff;
		t[u].val=x;
	}
	splay(u,0);
}

find函数（直接上代码了）

注意这个操作是把x这个数换到根;

void find(int x){
	int u=root;
	if(!u)return;//空树直接返回;
	while(t[u].ch[x>t[u].val]&&t[u].val!=x){
		u=t[u].ch[x>t[u].val];//不断寻找; 
	}
	splay(u,0);
}

前驱与后继

首先就要执行find操作
把要查找的数弄到根节点
然后，以前驱为例
先确定前驱比他小，所以在左子树上
然后他的前驱是左子树中最大的值
所以一直跳右结点，直到没有为止
找后继反过来就行了

int nxt(int x,int f){ //f=1表示查找后继,0表示查找前驱; 
	find(x);//先把x旋转到根位置; 
	int u=root;
	if(t[u].val>x&&f) return u;
	if(t[u].val<x&&!f) return u;//可以直接返回 
	u=t[u].ch[f];
	while(t[u].ch[f^1]) u=t[u].ch[f^1]; //要反着跳转,否则会越来越大(越来越小) 
	return u;
}

删除（直接放代码了）

注意别忘了修改siz

void Del(int x){
	int nt=nxt(x,1);//查找x的后继
	int last=nxt(x,0);//查找x的前驱
	splay(last,0);
	splay(nt,last); 
	//将前驱旋转到根节点，后继旋转到根节点下面
    //很明显，此时后继是前驱的右儿子，x是后继的左儿子，并且x是叶子节点
	int del=t[nt].ch[0];
	if(t[del].cnt>1){
	   	t[del].cnt--;//存在多个这个数字，直接减去一个 
		splay(del,0);
    }
    else t[nt].ch[0]=0,t[nt].siz--,t[last].siz--;//清除掉节点,由于知道del上方的节点都有什么，直接修改即可 
}

排名第k的数

int k_th(int x){
	int u=root;
	if(t[u].siz<x) return 0;
	while(1){
		int y=t[u].ch[0];
		if(x>t[y].siz+t[u].cnt){ //如果排名比左儿子的大小和当前节点的数量要大
			x-=t[y].siz+t[u].cnt;
			u=t[u].ch[1]; //那么当前排名的数一定在右儿子上找
		} else {
			if(x<=t[y].siz) u=y; //左儿子的节点数足够,在左儿子上继续找
			else return t[u].val; //否则就是在当前根节点上
		}
	}
}

总代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1e5+7;
struct node{
	int cnt,siz,val,ff,ch[2];
}t[N];
int n,root,tot;
void up(int x){
	t[x].siz=t[x].cnt+t[t[x].ch[0]].siz+t[t[x].ch[1]].siz;
}
void rotate(int x){
	int y=t[x].ff;
	int z=t[y].ff;
	int k=t[y].ch[1]==x;//k表示x在y的哪个儿子,0表示左二子,1表示右儿子; 
	t[z].ch[t[z].ch[1]==y]=x;//y原来的位置变为x; 
	t[x].ff=z;//x的父亲变为z; 
	t[y].ch[k]=t[x].ch[k^1];//与k相反方向的x的儿子,成为为y的k方向的儿子; 
	t[t[x].ch[k^1]].ff=y;
	t[x].ch[k^1]=y;//k相反方向的x的儿子变为y; 
	t[y].ff=x;
	up(y),up(x);//旋转完之后siz会改变 ,所以更新一下 ,注意先更新y,再更新x;
}

void splay(int x,int goal){
	while(t[x].ff!=goal){
		int y=t[x].ff,z=t[y].ff;
		if(z!=goal) (t[z].ch[0]==y)^(t[y].ch[0]==x)?rotate(x):rotate(y);//不同方向旋转y,相同旋转x; 
		rotate(x);//最后都要旋转y; 
	}
	if(goal==0) root=x;//别忘了这里 
}

void insert(int x){
	int u=root,ff=0;
	while(u&&t[u].val!=x){
		ff=u;
		u=t[u].ch[x>t[u].val];//不短找 
	}
	if(u) t[u].cnt++;//如果之前这个节点存在,直接cnt++; 
	else {
		u=++tot;//否则新建一个节点; 
		if(ff) t[ff].ch[x>t[ff].val]=u;
		t[u].ch[0]=t[u].ch[1]=0;
		t[u].cnt=1;
		t[u].siz=1;
		t[u].ff=ff;
		t[u].val=x;
	}
	splay(u,0);
}

void find(int x){
	int u=root;
	if(!u)return;//空树直接返回;
	while(t[u].ch[x>t[u].val]&&t[u].val!=x){
		u=t[u].ch[x>t[u].val];//不断寻找; 
	}
	splay(u,0);
}

int nxt(int x,int f){ //f=1表示查找后继,0表示查找前驱; 
	find(x);//先把x旋转到根位置; 
	int u=root;
	if(t[u].val>x&&f) return u;
	if(t[u].val<x&&!f) return u;//可以直接返回 
	u=t[u].ch[f];
	while(t[u].ch[f^1]) u=t[u].ch[f^1]; //要反着跳转,否则会越来越大(越来越小) 
	return u;
}

void Del(int x){
	int nt=nxt(x,1);//查找x的后继
	int last=nxt(x,0);//查找x的前驱
	splay(last,0);
	splay(nt,last); 
	//将前驱旋转到根节点，后继旋转到根节点下面
    //很明显，此时后继是前驱的右儿子，x是后继的左儿子，并且x是叶子节点
	int del=t[nt].ch[0];
	if(t[del].cnt>1){
	   	t[del].cnt--;//存在多个这个数字，直接减去一个 
		splay(del,0);
    }
    else t[nt].ch[0]=0,t[nt].siz--,t[last].siz--;//清除掉节点,由于知道del上方的节点都有什么，直接修改即可 
}

int k_th(int x){
	int u=root;
	if(t[u].siz<x) return 0;
	while(1){
		int y=t[u].ch[0];
		if(x>t[y].siz+t[u].cnt){ //如果排名比左儿子的大小和当前节点的数量要大
			x-=t[y].siz+t[u].cnt;
			u=t[u].ch[1]; //那么当前排名的数一定在右儿子上找
		} else {
			if(x<=t[y].siz) u=y; //左儿子的节点数足够,在左儿子上继续找
			else return t[u].val; //否则就是在当前根节点上
		}
	}
}

int main(){
	insert(-2147483647);//蒟蒻不知道为什么要加这两行,不过不加会错 
    insert(+2147483647);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int opt,x;
		scanf("%d%d",&opt,&x);
		if(opt==1) insert(x);
		if(opt==2) Del(x);
		if(opt==3) {find(x),cout<<t[t[root].ch[0]].siz<<"\n";}//因为有一个极小值，所以不用加一； 
		if(opt==4) cout<<k_th(x+1)<<"\n";//因为加了一个极小值,所以第x+1个,就是要求的第x个; 
		if(opt==5) cout<<t[nxt(x,0)].val<<"\n";
		if(opt==6) cout<<t[nxt(x,1)].val<<"\n";
	}
}