博弈论

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巴什博奕

巴什博奕

只有一堆n个物品，两个人从轮流中取出（1~m）个；最后取光者胜。
考虑到 若n=m+1 那么 第一个人不论如何取都不能取胜。
进一步我们发现 若 n=k(m+1)+r; 先取者拿走 r 个，那么后者再拿（1~m）个
n=（k-1）（m+1）+s； 先取者再拿走s 个 最后总能造成 剩下n=m+1 的局面。
因此，此时先手有必赢策略。
相对应的，若n=k*(m+1) 那么先取者必输。

NIM游戏

当有N堆，每堆有Mi>0个物品，依旧是两个人来取该怎么判断？
考虑当所有堆中的石子数都为0，那么先手必败；
当所有堆中石子数都为0是异或和为0的情况；
会发现每次有方法把异或和不为0的状态转变成异或和为0的状态，
而每次异或和为0的状态只能转化为异或和不为0的状态；
所以呢，如果初始状态异或和不为0，先手必胜，否则先手必败；
有1堆n个的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

SG定理： 游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和/异或和。

SG[0]=0，f[]={1,3,4},
x=1 时，可以取走1 - f{1}个石子，剩余{0}个，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;
x=2 时，可以取走2 - f{1}个石子，剩余{1}个，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;
x=3 时，可以取走3 - f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;
x=4 时，可以取走4- f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;
x=5 时，可以取走5 - f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;

void get_SG(int n){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;f[j]<=i;j++){
			ok[SG[i-f[j]]]=i;
		}
		for(int j=0;;j++){
			if(ok[j]!=i){
				SG[i]=j;
				break;
			}
		}
	}
}

威佐夫博弈

有两堆石子，两个顶尖聪明的人在玩游戏，
每次每个人可以从任意一堆石子中取任意多的石子
或者从两堆石子中取同样多的石子，不能取得人输
由于证明复杂且没有演变所以知道结论即可
结论：
emmmm 先留个坑