[离散数学]定理,引理,推论与诸如此类概念的异同

以下内容译自 Dave Richeson 教授的博客 : What is the difference between a theorem, a lemma, and a corollary?

这是他在迪金森学院授课时为学生准备的文字讲稿(handout).

原文 PDF 版本 : $\mathtt{Link.}$

翻译时适当加入了一些例子,同时附上原文给出的例子在百度百科与维基百科上页面的链接.

---

定义 (Definition)#

Definition — a precise and unambiguous description of the meaning of a mathematical term. It characterizes the meaning of a word by giving all the properties and only those properties that must be true.

定义 是对数学术语的精准明确的描述.

其通过描述全部属性,且只有绝对成立的属性,来阐释词语.

例#

三角形的定义 : 三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形.

• 描述了同一平面内,不共线的三条线段等属性.

• 描述的属性对于所有三角形都成立.

• 不包括特殊的(例如三边都相等),对于部分三角形不成立的属性.

---

定理 (Theorem)#

Theorem — a mathematical statement that is proved using rigorous mathematical reasoning. In a mathematical paper, the term theorem is often reserved for the most important results.

定理 是通过严谨的数学推理所证明的数学陈述.

在数学论文中,"定理"这个术语通常保留给最重要的结论.

例#

牛顿二项式定理 (binomial theorem) :

$$\large (x+y)^n=\sum_{k=0}^n\ C{_n^k} x^k y^{n-k}$$

• 是对于二项式展开式的数学陈述.

• 可以由归纳法证明.

---

引理 (Lemma)#

Lemma — a minor result whose sole purpose is to help in proving a theorem. It is a stepping stone on the path to proving a theorem. Very occasionally lemmas can take on a life of their own.

引理 是辅助证明定理的次级结论.

某些情况下,引理可以独自发挥作用.

原文例#

• 佐恩引理 (Zorn’s lemma)

  • Wikipeida - 佐恩引理
  • 百度百科 - 佐恩引理

• 乌雷松引理 (Urysohn’s lemma)

  • Wikipedia - 乌雷松引理
  • 百度百科 - 乌雷松引理

• 伯恩赛德引理 (Burnside’s lemma)

  • Wikipedia - 伯恩赛德引理
  • 百度百科 - 伯恩赛德引理

Burnside 引理是证明 Pólya 定理的重要前置结论,可以用于解决有置换群关系的计数问题.

可以参考 P4980 【模板】Pólya 定理.

• 斯潘纳引理 Sperner’s lemma
  • Wikipedia - Sperner’s lemma(仅英文)
  • 百度百科 (无)

例#

Raney 引理 :

对于整数序列 $\{a_n\}$ , 定义 $S_k = \sum_{i = 1}^{k} a_i$.

对于一个 $S_n = 1$ 的序列,在其所有循环同构中,仅有一个满足 $\forall i \in [1,n],S_i > 0$.

这个引理可以用于证明卡特兰数通项,也可以用来解题.

题目参见 [清华集训2016] 你的生命已如风中残烛.

---

推论 (Corollary)#

Corollary — a result in which the (usually short) proof relies heavily on a given theorem (we often say that “this is a corollary of Theorem A”).

推论 是依赖给定的定理引出的简短的结论.

通常使用"推论"一词形如 : 这是某定理的推论.

例#

对于余弦定理 (Law of cosines),原式如下 :

$$\large c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

可以得出推论如下 :

任一多边形的每一条边的平方都等于其它各边的平方和并减去它们两两及其夹角余弦积的二倍.

---

命题 (Proposition)#

Proposition — a proved and often interesting result, but generally less important than a theorem.

命题 是经过证明的通常较为有趣的结论.

但是通常命题的重要程度不如定理.

例#

无.

译者注 : 这里命题指的应该是类似 断言 (assertion) 的小结论,而不是命题逻辑所说的命题.

---

猜想 (Conjecture)#

Conjecture — a statement that is unproved, but is believed to be true .

猜想 是未被证实,但是被认为为真的陈述.

原文例#

• 冰雹猜想 (Collatz conjecture)

  • Wikipedia - 考拉兹猜想
  • 百度百科 - 冰雹猜想

• 哥德巴赫猜想 (Goldbach conjecture)

  • Wikipedia - 哥德巴赫猜想
  • 百度百科 - 哥德巴赫猜想

• 孪生素数猜想 (twin prime conjecture)

  • Wikipedia - 孪生素数猜想
  • 百度百科 - 孪生素数猜想

---

声言 (Claim)#

Claim — an assertion that is then proved. It is often used like an informal lemma.

声言 是已经被证实的断言 (assertion).

通常作为一个非正式的引理来使用.

译者注 : Claim 相较 Assertion 更为客观,突出已经证毕之意.

---

公理/假定 (Axiom/Postulate)#

Axiom/Postulate — a statement that is assumed to be true without proof. These are the basic building blocks from which all theorems are proved.

公理和假定 是被假定不证自明的陈述.

是证明所有定理的基石.

原文例#

• 欧几里得五条几何公理 (Euclid’s five postulates)

  • Wikipedia - 欧几里得几何
  • 百度百科 - 欧氏几何公理

• 策梅洛-弗兰克尔集合论 (Zermelo-Fraenkel axioms)

  • Wikipedia - 策梅洛-弗兰克尔集合论
  • 百度百科 - 策梅洛-弗兰克尔集合论

• 皮亚诺公理 (Peano axioms)

  • Wikipedia - 皮亚诺公理
  • 百度百科 - 皮亚诺公理

---

恒等式 (Identity)#

Identity — a mathematical expression giving the equality of two (often variable) quantities.

恒等式 是表明两个量的等量关系的数学表达式.

其中恒等的量通常是变量.

原文例#

• 三角恒等式 (trigonometric identities)
  • Wikipedia - 三角恒等式
  • 百度百科 - 三角恒等式
• 欧拉恒等式 (Euler’s identity)
  • Wikipedia - 欧拉恒等式
  • 百度百科 - 欧拉恒等式

---

悖论 (Paradox)#

Paradox — a statement that can be shown, using a given set of axioms and definitions, to be both true and false. Paradoxes are often used to show the inconsistencies in a flawed theory. The term paradox is often used informally to describe a surprising or counterintuitive result that follows from a given set of rules .

悖论 是在一组定义与公理下同时可证实也可证伪的陈述.

"悖论"这个术语也用作描述给定规则集下导出的反直觉结果.

原文例#

• 罗素悖论 (Russell’s paradox)

  • Wikipedia - 罗素悖论
  • 百度百科 - 罗素悖论

• 巴拿赫-塔斯基悖论 (Banach-Tarski paradox)

  • Wikipedia - 巴拿赫-塔斯基定理
  • 百度百科 - 巴拿赫-塔斯基悖论

• 阿拉巴马悖论 (Alabama paradox)

  • Wikipedia - 阿拉巴马悖论
  • 百度百科 - 阿拉巴马悖论

• 托里拆利小号 / 加百利号角 (Gabriel’s horn)

  • Wikipedia - 托里拆利小号
  • 百度百科 - 托里拆利小号