[老题新解]LCT维护最小生成树
前言
之前见到的一道题，现在有了更优秀的解法。
题意
有一个 \(n\) 个点的无向图，初始没有边，每次加入一条带权边后询问最小生成树权值，无生成树输出 0，加边共计 \(m\) 次。
\(n \le 500,m \le 2000\)。
解法
如果对于每次询问都直接做 Prim 最小生成树是可以通过这道题的，但是人要有追求，考虑如何通过更大的数据。
现在考虑求生成树的过程，当加入了一条边的时候有两种可能：
- 这条边连接的两点不在一棵树内，则这条边立即被选中
- 这条边连接的两点在一棵树内，需要分类讨论
现在着重讨论 2. 的情况，令这两个点为 \(u,v\)，因为现在 \(u,v\) 在同一棵树上，那么 \(u,v\) 之间仅有一条简单路径，此时尝试用新的边替换掉 \(u,v\) 路径上边权最大的边，如果路径上边权都比新边小，那没有必要加入这条边。
于是我们需要实现动态加边，删边，查询路径最小值的数据结构，这里使用 Link-Cut Tree 维护。
但是由于 LCT 的辅助树结构本身不支持直接维护边权，我们把每条边作为一个点维护，边权就变成了点权。即对于加边 \((u,v)\)，首先建立一个新的点 \(e\) 点权为 \(w(u,v)\)，再连 \((e,u),(e,v)\) 两条边即可。
代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
constexpr int N = 50005;
struct LinkCutTree {
bool rev[N];
int fa[N],ch[N][2];
int val[N],mx[N];
#define ls(x) (ch[x][0])
#define rs(x) (ch[x][1])
#define dir(x) (x == ch[fa[x]][1])
#define IsRoot(x) (x != ch[fa[x]][0] && x != ch[fa[x]][1])
inline void PushUp(int x) {
mx[x] = x;
if(ls(x) && val[mx[ls(x)]] > val[mx[x]]) mx[x] = mx[ls(x)];
if(rs(x) && val[mx[rs(x)]] > val[mx[x]]) mx[x] = mx[rs(x)];
}
inline void PushDown(int x) {
if(rev[x]) {
if(ls(x)) std::swap(ls(ls(x)),rs(ls(x))),rev[ls(x)] ^= 1;
if(rs(x)) std::swap(ls(rs(x)),rs(rs(x))),rev[rs(x)] ^= 1;
rev[x] = 0;
}
}
void update(int x) {
if(!IsRoot(x)) update(fa[x]);
PushDown(x);
}
inline void rotate(int x) {
int y = fa[x],z = fa[y],d = dir(x),w = ch[x][d ^ 1];
if(!IsRoot(y)) ch[z][dir(y)] = x;
ch[y][d] = w,ch[x][d ^ 1] = y;
fa[y] = x,fa[x] = z;
if(w) fa[w] = y;
PushUp(y);
}
inline void splay(int x) {
update(x);
while(!IsRoot(x)) {
int y = fa[x],z = fa[y];
if(!IsRoot(y))
rotate((ls(y) == x) ^ (ls(z) == y) ? x : y);
rotate(x);
}
PushUp(x);
}
inline void access(int x) {
for(int p = 0;x;p = x,x = fa[x])
splay(x),rs(x) = p,PushUp(x);
}
inline void MakeRoot(int x) {
access(x),splay(x);
std::swap(ls(x),rs(x)),rev[x] ^= 1;
}
inline int FindRoot(int x) {
access(x),splay(x);
while(ls(x)) PushDown(x),x = ls(x);
splay(x);
return x;
}
inline void split(int x,int y) {
MakeRoot(x),access(y),splay(y);
}
inline void link(int x,int y) {
MakeRoot(x); fa[x] = y;
}
}T;
int main() {
int n,m,ecnt = 0;
scanf("%d%d",&n,&m);
int res = 0;
for(int i = 1;i <= m;++i) {
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
if(u == v) continue;
T.val[i + n] = w;
T.MakeRoot(u);
if(u != T.FindRoot(v)) {
T.link(i + n,u),T.link(i + n,v);
++ecnt;
res += w;
}
else {
T.split(u,v);
int ep = T.mx[v];
if(w < T.val[ep]) {
T.splay(ep);
T.fa[T.ch[ep][0]] = T.fa[T.ch[ep][1]] = 0;
T.link(i + n,u);
T.link(i + n,v);
res -= T.val[ep];
res += w;
}
}
if(ecnt == n - 1) printf("%d\n",res);
else puts("0");
}
return 0;
}
更多应用
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求一个最小边权与最大边权差值最小的生成树。
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魔法森林
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