霍夫变换检测直线和平面

本文介绍霍夫变换Hough Transform，并介绍其在直线检测和三维平面检测的应用。

霍夫变换

霍夫空间

我们把一条直线y=kx+q变换为：q = -xk + y, 然后绘制出关于k和q坐标系下的方程，可以得到一个点。

相应的，q = -xk + y 这条直线也可以转换为点（x, y)，这里的 q, k构成的坐标系为霍夫空间Hough Space

多点共线

对于在笛卡尔坐标系中多个点共线的情况，投影到霍夫空间，变为交于同一点的直线：

这里的交点（k, q），便是这几个点共线的方程y = kx + q。

极坐标系

在极坐标系下，通过将x, y的方程替换为ρ和θ，得到交于同一点的若干条曲线。

网格化

对于离散的点，在霍夫空间无法准确地交于同一个点，这时我们需要把霍夫空间的坐标系进行网格化，再对每个网格进投票，统计经过直线（曲线）最多的网格，视为交点。这个网格的坐标系下的平均值则为拟合直线方程的参数。

霍夫变换用于点云平面检测

对于3D点云，霍夫变换可以用来检验平面。论文The 3D Hough Transform for Plane Detection in Point Clouds:A Review and a new Accumulator Design [2011] 介绍了用3D霍夫变换检测平面的研究。

我们可以把3维平面的方程转换为极坐标，构建关于ø，θ和ρ的方程：

在三维坐标系下，点到霍夫的投影可以表示为三条曲面。对于三点共面，可以通过网格化霍夫空间，求得三条曲面交汇的交点，从而得到平面的方程：