【Codeforces 949D】Shake It! 【动态规划】

参考： http://blog.csdn.net/gjghfd/article/details/77824901

 

 

 

 

所求的是满足条件的图中“不同构”的数量，意味着操作的顺序是可以忽略的。考虑若干次操作后得到的一个“World” G，其中某次操作(s(G), t(G))生成的节点为w，则由s(G)到w和由w到t(G)的所有路径及途径点生成的两个子图分别符合“World”的定义。

 

这意味着我们可以将一个“World”分割成若干个子问题来求解。

 

不妨令F(N, M)表示经N次操作后得到的s(G)与t(G)之间最小割为M的所有不同构的G的数量。考虑N次操作中所有基于u=s(G), v=t(G)的操作生成的子“world”，如图所示：

 

则有$$N = \sum_i (a_i + c_i + 1) \\ M = \sum_i \min\{b, d\} $$

由此可以按照a, b, c, d对这些成对的子世界分类，令$$g(i, j) = \sum_{a+c+1=i \land min\{b, d\} = j} F(a, b) * F(c, d) $$

这样我们就可以类比背包问题的求解过程，从小到大依次求出g(i, j)，并用g(i, j)更新F的答案。

考虑当前要将t组在g(i, j)中的“子世界对”放入背包，而F(x,y)是尚未考虑将g(i, j)作为子世界的情况的世界数量，那么状态转移的过程就相当于在g(i,j)中可重复地选取t个子世界对，使得总操作数变为x+t*i，总割集变为y+t*j。由于“同构”的定义不考虑操作的顺序，上述转移的方案数应为$\binom{g(i, j) + t - 1}{t} $

即状态转移为$$F(x, y) \cdot \binom{g(i, j) + t - 1}{t} \Longrightarrow F(x+t*i, y+t*j)$$

代码实现如下

By Asm.Def, contest: Codeforces Round #431 (Div. 1), problem: (D) Shake It!, Accepted, #

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 52, mod = 1000000007;
typedef long long LL;
int N, M, F[maxn][maxn], G[maxn][maxn], inv[maxn];

void init()
{
    scanf("%d%d", &N, &M);
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2;i < maxn;++i)
        inv[i] = LL(mod-mod/i) * inv[mod%i] % mod;
}
void work()
{
    F[0][1] = 1;
    for(int i = 1;i <= N;++i) for(int j = 1;j < maxn;++j)
    {
        for(int a = 0;a < i;++a)
        {
            G[i][j] = (G[i][j] + (LL) F[a][j] * F[i-1-a][j]) % mod;
            for(int b = j+1;b <= i+1 && b < maxn;++b)
            {
                G[i][j] = (G[i][j] + (LL) F[a][b] * F[i-1-a][j]) % mod;
                G[i][j] = (G[i][j] + (LL) F[a][j] * F[i-1-a][b]) % mod;
            }
        }
        //get G[i][j]
        for(int x = N-1;x >= 0;--x) for(int y = 1;y < maxn;++y) if(F[x][y])
        {
            int C = 1;
            for(int t = 1;x+t*i <= N && y+t*j < maxn;++t)
            {
                C = (LL) C * (G[i][j]-1+t) % mod * inv[t] % mod;
                F[x+t*i][y+t*j] = (F[x+t*i][y+t*j] + (LL) F[x][y] * C) % mod;
            }
        }
    }
    printf("%d\n", F[N][M]);
}
int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}