刷题总结——次小生成树(bzoj1977 最小生成树+倍增)
题目：
Description
小 C 最近学了很多最小生成树的算法，Prim 算法、Kurskal 算法、消圈算法等等。 正当小 C 洋洋得意之时，小 P 又来泼小 C 冷水了。小 P 说，让小 C 求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说： 如果最小生成树选择的边集是 EM，严格次小生成树选择的边集是 ES，那么需要满足：(value(e) 表示边 e的权值) 
这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。
Input
第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。
Output
包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)
Sample Input
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6
Sample Output
数据中无向图无自环； 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。
题解：
次小生成树的模板题···
基本思路是求一次最小生成树··然后枚举那些非树边··找到以非树边两端点在树上路径中最大的一条边··将其删除并换上这条边然后计算目前答案··最后将所有算出的答案取min
唯一的问题是如何快速求得两端点原树路径上的最大边··可以采用树上倍增的方式··我们预处理出g[i][j],即i向上走2^j条边对应的祖先··以及maxx[i][j]，走2^j的边中的最大值··
因为这道题是求严格次小的···我们不得不再预处理出一个minx[i][j],为次小值,至于如何求看代码吧··
然后就是常规的倍增思想··设我们枚举的非树边的两端点为a,b,我们找出它们在树上的lca,然后a和b在跳向lca时求得各自的最大值··注意由于是严格次大的··我们在跳的时候如果此时的maxx已经等于非树边的权值··我们就只能取minx···最后求ab中的最大值就是最大的一条边了
代码：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cmath> #include<ctime> #include<cstring> #include<string> #include<cctype> #include<algorithm> using namespace std; const int N=1e5+5; const int M=3e5+5; struct node { int a,b,val; }ed[M]; long long sum=0; int first[N],next[M*2],go[M*2],val[M*2],tot,n,m; int deep[N],maxx[N][20],minx[N][20],g[N][20],father[N]; bool vis[M]; inline int R() { char c;int f=0; for(c=getchar();c<'0'||c>'9';c=getchar()); for(;c<='9'&&c>='0';c=getchar()) f=(f<<3)+(f<<1)+c-'0'; return f; } inline bool cmp(node a,node b) { return a.val<b.val; } inline int get(int a) { if(father[a]==a) return a; else return father[a]=get(father[a]); } inline void comb(int a,int b,int c) { next[++tot]=first[a],first[a]=tot,go[tot]=b,val[tot]=c; next[++tot]=first[b],first[b]=tot,go[tot]=a,val[tot]=c; } inline void kruscal() { sort(ed+1,ed+m+1,cmp); int temp=0; for(int i=1;i<=m;i++) { int fa=get(ed[i].a),fb=get(ed[i].b); if(fa!=fb) { father[fa]=fb;temp++;sum+=ed[i].val;vis[i]=true; comb(ed[i].a,ed[i].b,ed[i].val); } if(temp==n-1) break; } } inline void dfs(int u,int fa) { for(int e=first[u];e;e=next[e]) { int v=go[e];if(v==fa) continue; deep[v]=deep[u]+1;maxx[v][0]=val[e];g[v][0]=u;dfs(v,u); } } inline void pre() { for(int i=1;i<=18;i++) for(int j=1;j<=n;j++) { g[j][i]=g[g[j][i-1]][i-1]; maxx[j][i]=max(maxx[j][i-1],maxx[g[j][i-1]][i-1]); minx[j][i]=max(minx[j][i-1],minx[g[j][i-1]][i-1]); if(maxx[j][i-1]<maxx[g[j][i-1]][i-1]&&minx[j][i]<maxx[j][i-1]) minx[j][i]=maxx[j][i-1]; else if(maxx[j][i-1]>maxx[g[j][i-1]][i-1]&&minx[j][i]<maxx[g[j][i-1]][i-1]) minx[j][i]=maxx[g[j][i-1]][i-1]; } } inline int getlca(int a,int b) { if(deep[a]<deep[b]) swap(a,b); int i,j; for(i=0;(1<<i)<=deep[a];i++);i--; for(j=i;j>=0;j--) if(deep[a]-(1<<j)>=deep[b]) a=g[a][j]; if(a==b) return a; for(i=18;i>=0;i--) if(g[a][i]!=g[b][i]) a=g[a][i],b=g[b][i]; return g[a][0]; } inline int find(int a,int b,int lca,int lim) { int i,j,lmax=0,rmax=0; for(i=0;(1<<i)<=deep[a];i++);i--; for(j=i;j>=0;j--) if(deep[a]-(1<<j)>=deep[lca]) { if(maxx[a][j]!=lim) lmax=max(lmax,maxx[a][j]); else lmax=max(lmax,minx[a][j]); a=g[a][j]; } for(i=0;(1<<i)<=deep[b];i++);i--; for(j=i;j>=0;j--) if(deep[b]-(1<<j)>=deep[lca]) { if(maxx[b][j]!=lim) rmax=max(rmax,maxx[b][j]); else rmax=max(rmax,minx[b][j]); b=g[b][j]; } return max(lmax,rmax); } inline void getans() { long long ans=2e+18; for(int i=1;i<=m;i++) if(!vis[i]) { int a=ed[i].a,b=ed[i].b,c=ed[i].val; int lca=getlca(a,b); int temp=find(a,b,lca,c); if(temp!=c&&ans>sum-temp+c) ans=sum-temp+c; } cout<<ans<<endl; } int main() { //freopen("a.in","r",stdin); n=R(),m=R(); for(int i=1;i<=n;i++) father[i]=i; for(int i=1;i<=m;i++) ed[i].a=R(),ed[i].b=R(),ed[i].val=R(); kruscal(); dfs(1,0); pre(); getans(); return 0; }
