刷题总结——单旋（HNOI2017 bzoj4825）

题目：

Description

H 国是一个热爱写代码的国家，那里的人们很小去学校学习写各种各样的数据结构。伸展树（splay）是一种数据

结构，因为代码好写，功能多，效率高，掌握这种数据结构成为了 H 国的必修技能。有一天，邪恶的“卡”带着

他的邪恶的“常数”来企图毁灭 H 国。“卡”给 H 国的人洗脑说，splay 如果写成单旋的，将会更快。“卡”称

“单旋 splay”为“spaly”。虽说他说的很没道理，但还是有 H 国的人相信了，小 H 就是其中之一，spaly 马

上成为他的信仰。 而 H 国的国王，自然不允许这样的风气蔓延，国王构造了一组数据，数据由 m 个操作构成，

他知道这样的数据肯定打垮 spaly，但是国王还有很多很多其他的事情要做，所以统计每个操作所需要的实际代价

的任务就交给你啦。

 

数据中的操作分为五种：

 

1. 插入操作：向当前非空 spaly 中插入一个关键码为 key 的新孤立节点。插入方法为，先让 key 和根比较，如果 

key 比根小，则往左子树走，否则往右子树走，如此反复，直到某个时刻，key 比当前子树根 x 小，而 x 的左子

树为空，那就让 key 成为 x 的左孩子； 或者 key 比当前子树根 x 大，而 x 的右子树为空，那就让 key 成为 

x 的右孩子。该操作的代价为：插入后，key 的深度。特别地，若树为空，则直接让新节点成为一个单个节点的树

。（各节点关键码互不相等。对于“深度”的解释见末尾对 spaly 的描述）。

2. 单旋最小值：将 spaly 中关键码最小的元素 xmin 单旋到根。操作代价为：单旋前 xmin 的深度。

（对于单旋操作的解释见末尾对 spaly 的描述）。

3. 单旋最大值：将 spaly 中关键码最大的元素 xmax 单旋到根。操作代价为：单旋前 xmax 的深度。

4. 单旋删除最小值：先执行 2 号操作,然后把根删除。由于 2 号操作之后,根没有左子树,所以直接切断根和右子

树的联系即可（具体见样例解释）。 操作代价同 2 号操 作。

5. 单旋删除最大值：先执行 3 号操作,然后把根删除。 操作代价同 3 号操作。

 

对于不是 H 国的人，你可能需要了解一些 spaly 的知识，才能完成国王的任务：

 

a. spaly 是一棵二叉树，满足对于任意一个节点 x，它如果有左孩子 lx，那么 lx 的关键码小于 x 的关键码。

如果有右孩子 rx，那么 rx 的关键码大于 x 的关键码。

b. 一个节点在 spaly 的深度定义为：从根节点到该节点的路径上一共有多少个节点（包括自己）。

c. 单旋操作是对于一棵树上的节点 x 来说的。一开始,设 f 为 x 在树上的父亲。如果 x 为 f 的左孩子，那么

执行 zig(x) 操作（如上图中，左边的树经过 zig(x) 变为了右边的树），否则执行 zag(x) 操作（在上图中，将

右边的树经过 zag(f) 就变成了左边的树）。每当执 行一次 zig(x) 或者 zag(x)，x 的深度减小 1，如此反复，

直到 x 为根。总之，单旋 x 就是通过反复执行 zig 和 zag 将 x 变为根。

Input

第一行单独一个正整数 m。

接下来 m 行，每行描述一个操作：首先是一个操作编号 c∈[1,5]，即问题描述中给出的五种操作中的编号，若 c

 = 1，则再输入一个非负整数 key，表示新插入节点的关键码。

1≤m≤10^5,1≤key≤10^9

所有出现的关键码互不相同。任何一个非插入操作，一定保证树非空。在未执行任何操作之前，树为空

Output

输出共 m 行，每行一个整数，第 i 行对应第 i 个输入的操作的代价。

Sample Input

5
1 2
1 1
1 3
4
5

Sample Output

1
2
2
2
2

题解：

首先是插入操作。容易发现，节点的深度是当前spaly中比它小中最大的、比它大的中最小的，两个节点深度更大值+1。

接下来是旋转&删除。旋转最小、大值的思路类似，这里只讨论最小值。画图可以发现当前最小值右子树的深度不变，自己深度变为1，其余点深度+1。

把根删除，就是其它节点深度全部-1.

那么现在就要支持以下操作：在序列中间插入一个数、区间加减、单点修改、单点查询、以及寻找第一个（或最后一个）比某值小的数。这题没有强制在线，可以用线段树解决。如果在线可以打splay

时间复杂度O(nlogn)

至于如何维护就很麻烦了···线段树的左右区间为离散化后的键值,用tr,mx,mi分别表示键值区间内深度最小值,键值区间内键值最大的点的深度··键值区间内键值最小的点的深度，前一个用于求每个点的再spaly中的father，后两个用于求前驱后继··（具体见代码）

md好难打啊艹

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100005;
int tr[N*4],mx[N*4],mi[N*4],tag[N*4],cnt[N*4],b[N],now,a[N],tot,m,n,op[N],deep;
inline int R()
{
  char c;int f=0;
  for(c=getchar();c<'0'||c>'9';c=getchar());
  for(;c<='9'&&c>='0';c=getchar())
    f=(f<<3)+(f<<1)+c-'0';
  return f;
}
inline void lsh()
{
  sort(b+1,b+n+1);
  for(int i=1;i<=n;i++)
    a[i]=lower_bound(b+1,b+n+1,a[i])-b;
}
inline void update(int k)
{
  if(cnt[k*2])  mi[k]=mi[k*2];else mi[k]=mi[k*2+1];
  if(cnt[k*2+1])  mx[k]=mx[k*2+1];else mx[k]=mx[k*2];
  tr[k]=min(tr[k*2],tr[k*2+1]);cnt[k]=cnt[k*2]+cnt[k*2+1];
}
inline void pushdown(int k)
{
  if(tag[k])
  {
    if(cnt[k*2])
      tag[k*2]+=tag[k],mi[k*2]+=tag[k],mx[k*2]+=tag[k],tr[k*2]+=tag[k];
    if(cnt[k*2+1])
      tag[k*2+1]+=tag[k],mi[k*2+1]+=tag[k],mx[k*2+1]+=tag[k],tr[k*2+1]+=tag[k];
    tag[k]=0;
  }
}
inline int pre(int k,int l,int r,int v)
{
  if(r==v)
    return mx[k];
  int mid=(l+r)/2;
  pushdown(k);
  if(v<=mid)  return pre(k*2,l,mid,v);
  int t=pre(k*2+1,mid+1,r,v);
  if(t)  return t;
  else return mx[k*2];
}
inline int nxt(int k,int l,int r,int v)
{
  if(l==v)
    return mi[k];
  int mid=(l+r)/2;
  pushdown(k);
  if(v>mid)  return nxt(k*2+1,mid+1,r,v);
  int t=nxt(k*2,l,mid,v);
  if(t)  return t;
  else return mi[k*2+1];
}
inline int getmin(int k,int l,int r)
{
  if(l==r)
  {
    deep=tr[k];return l;
  }
  pushdown(k);
  int mid=(l+r)/2;
  if(cnt[k*2])  return getmin(k*2,l,mid);
  else return getmin(k*2+1,mid+1,r);
}
inline int getmax(int k,int l,int r)
{
  if(l==r)
  {
    deep=tr[k];return l;
  }
  pushdown(k);
  int mid=(l+r)/2;
  if(cnt[k*2+1])  return getmax(k*2+1,mid+1,r);
  else return getmax(k*2,l,mid);
}
inline void insert(int k,int l,int r,int dep,int v)
{
  if(l==r)
  {
    tr[k]=mx[k]=mi[k]=dep;cnt[k]=1;return;
  }
  pushdown(k);
  int mid=(l+r)/2;
  if(v<=mid)  insert(k*2,l,mid,dep,v);
  else insert(k*2+1,mid+1,r,dep,v);
  update(k);
}
inline void Delete(int k,int l,int r,int v)
{
  if(l==r)
  {
    tr[k]=n,mx[k]=mi[k]=cnt[k]=0;return;
  }
  pushdown(k);
  int mid=(l+r)/2;
  if(v<=mid)  Delete(k*2,l,mid,v);
  else Delete(k*2+1,mid+1,r,v);
  update(k);
}
inline int find1(int k,int l,int r,int dep)
{
  if(l==r)  return l; 
  pushdown(k);
  int mid=(l+r)/2;
  if(cnt[k*2]&&tr[k*2]<dep)  return find1(k*2,l,mid,dep);
  return find1(k*2+1,mid+1,r,dep);
}
inline int find2(int k,int l,int r,int dep)
{
  if(l==r)  return l;
  pushdown(k);
  int mid=(l+r)/2;
  if(cnt[k*2+1]&&tr[k*2+1]<dep)  return find2(k*2+1,mid+1,r,dep);
  return find2(k*2,l,mid,dep);
}
inline void modify(int k,int l,int r,int x,int y,int v)
{
  if(!cnt[k])  return;
  if(l>=x&&r<=y)
  {
    tr[k]+=v,mx[k]+=v,mi[k]+=v,tag[k]+=v;
    return;
  }
  pushdown(k);
  int mid=(l+r)/2;
  if(x<=mid)  modify(k*2,l,mid,x,y,v);
  if(y>mid)  modify(k*2+1,mid+1,r,x,y,v);
  update(k);
}
int main()
{
  //freopen("a.in","r",stdin);
  m=R();
  for(int i=1;i<=m;i++)
  {
    op[i]=R();
    if(op[i]==1)  a[++n]=R(),b[n]=a[n];
  }
  lsh();n++;memset(tr,0x3f3f3f3f,sizeof(tr));
  for(int i=1;i<=m;i++)
  {
    if(op[i]==1)
    {
      now++;
      insert(1,0,n,deep=max(pre(1,0,n,a[now]),nxt(1,0,n,a[now]))+1,a[now]);
    }
    else if(op[i]==2||op[i]==4)
    {
      int q=getmin(1,0,n),p;
      Delete(1,0,n,q);p=find1(1,0,n,deep);modify(1,0,n,p,n,1);
      if(op[i]==2)  insert(1,0,n,1,q);else modify(1,0,n,0,n,-1);
    }
    else
    {
      int q=getmax(1,0,n),p; 
      Delete(1,0,n,q);p=find2(1,0,n,deep);modify(1,0,n,0,p,1);
      if(op[i]==3)  insert(1,0,n,1,q);else modify(1,0,n,0,n,-1);
    }
    printf("%d\n",deep);
  }
  return 0;
}