刷题总结——瞭望塔（bzoj1038）
题目：
Description
致力于建设全国示范和谐小村庄的H村村长dadzhi，决定在村中建立一个瞭望塔，以此加强村中的治安。我们
将H村抽象为一维的轮廓。如下图所示 我们可以用一条山的上方轮廓折线(x1, y1), (x2, y2), …. (xn, yn)来描
述H村的形状，这里x1 < x2 < …< xn。瞭望塔可以建造在[x1, xn]间的任意位置, 但必须满足从瞭望塔的顶端可
以看到H村的任意位置。可见在不同的位置建造瞭望塔，所需要建造的高度是不同的。为了节省开支，dadzhi村长
希望建造的塔高度尽可能小。请你写一个程序，帮助dadzhi村长计算塔的最小高度。
Input
第一行包含一个整数n，表示轮廓折线的节点数目。接下来第一行n个整数, 为x1 ~ xn. 第三行n个整数，为y1
~ yn。
Output
仅包含一个实数，为塔的最小高度，精确到小数点后三位。
Sample Input
6
1 2 4 5 6 7
1 2 2 4 2 1
【输入样例二】
4
10 20 49 59
0 10 10 0
Sample Output
1.000
【输出样例二】
14.500
HINT
N ≤ 300，输入坐标绝对值不超过106，注意考虑实数误差带来的问题。
题解：
这里引用神犇我是傻叉（这名字··）的题解，ORZ，附上链接：http://blog.csdn.net/qpswwww/article/details/44105605
这个题在上海ACM/ICPC冬令营的比赛中也考过，不是很难，不过想要想到用半平面交来搞还是不容易的。
如上图，手模下可以发现一个点要想看到所有的山顶，肯定是要在相邻两个山顶连线的半平面交中。那么显然这个相对高度最小的点肯定是在半平面交的边界上，因此有如下两种情况：
1、这个点在半平面交边界上两个直线的交点处(代码中的calc2())
2、这个点在某个山顶在半平面交的边界的投影处(代码中的calc1())
可以脑补下，答案对应的点肯定是这两种情况之一，至于证明嘛。。。实在难以表述出来(谁会证明的请告诉我，感激不尽)
然后在代码的实现上偷了点小懒。。。之前翻其他人题解，无非就是两种做法：1、解析几何法求直线交点，2、叉积+定比分点公式求交，考虑到这个题的题面已经限制了没有两条直线垂直的情况（x1<x2<...<xn），加上最后要求相对高度时用解析几何法来得方便些，于是你懂的。
心得：
直线半平面交的经典题··和赛车有点相似之处，但tm又老wa一个点啊，md半平面交存心和我过不去吗？QWQ
另外还发现了一个写了赛车以来一直有的一个误解····就是凸多边形那个弹出check的方法是通用的！！！，赛车那道题是因为所有线都是射线！！所以可以那样化简而已，QWQ；
代码：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<algorithm> #include<cctype> #include<iomanip> #define double long double using namespace std; int n,cnt,tot; double ans; struct P{ double x,y; }p[3000],a[3000]; P vec(P a,P b){ P s; s.x=a.x-b.x; s.y=a.y-b.y; return s; } double xplus(P a,P b){ return a.x*b.y-b.x*a.y; } struct L{ P a,b; double slope; friend bool operator < (L aa,L ab){ if(aa.slope!=ab.slope) return aa.slope<ab.slope; else return xplus(vec(aa.b,aa.a),vec(ab.b,aa.a))>0; } }l[3000],que[3000]; P inter(L a,L b){ double k1,k2,t; k1=xplus(vec(b.b,a.a),vec(a.b,a.a)); k2=xplus(vec(a.b,a.a),vec(b.a,a.a)); t=k1/(k1+k2); P ret; ret.x=b.b.x+t*(b.a.x-b.b.x); ret.y=b.b.y+t*(b.a.y-b.b.y); return ret; } bool check(L a,L b,L t){ P s=inter(a,b); return xplus(vec(t.b,t.a),vec(s,t.a))<0; } void preact(){ p[0].x=p[1].x,p[0].y=100001; p[n+1].x=p[n].x,p[n+1].y=100001; for(int i=1;i<=n;++i){ l[++cnt].a=p[i-1];l[cnt].b=p[i]; l[++cnt].a=p[i];l[cnt].b=p[i+1]; } for(int i=1;i<=cnt;++i) l[i].slope=atan2(l[i].b.y-l[i].a.y,l[i].b.x-l[i].a.x); sort(l+1,l+cnt+1); return ; } void hpi(){ int ll=1,rr=0;tot=0; for(int i=1;i<=cnt;++i){ if(l[i].slope!=l[i-1].slope) ++tot; l[tot]=l[i]; } cnt=tot;tot=0; que[++rr]=l[1],que[++rr]=l[2]; for(int i=3;i<=cnt;++i){ while(ll<rr&&check(que[rr-1],que[rr],l[i])) --rr; while(ll<rr&&check(que[ll+1],que[ll],l[i])) ++ll; que[++rr]=l[i]; } while(ll<rr&&check(que[rr-1],que[rr],que[ll])) --rr; while(ll<rr&&check(que[ll+1],que[ll],que[rr])) ++ll; for(int i=ll;i<rr;++i) a[++tot]=inter(que[i],que[i+1]); return ; } void getans(){ for(int i=1;i<=tot;++i){ P posnow; posnow.x=a[i].x; posnow.y=-1; for(int j=1;j<n;++j) if(a[i].x>=p[j].x&&a[i].x<=p[j+1].x) ans=min(ans,a[i].y-inter((L){p[j],p[j+1]},(L){posnow,a[i]}).y); } for(int i=1;i<=n;++i){ P nowpos; nowpos.x=p[i].x; nowpos.y=-1; for(int j=1;j<tot;++j) if(a[j].x<=p[i].x&&a[j+1].x>=p[i].x) ans=min(ans,inter((L){a[j],a[j+1]},(L){nowpos,p[i]}).y-p[i].y); } return ; } inline int read(){ int i=0,f=1; char ch; for(ch=getchar();ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1; for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) i=(i<<3)+(i<<1)+(ch^48); return i*f; } int main(){ n=read(); ans=1e60; for(int i=1;i<=n;++i) p[i].x=read(); for(int i=1;i<=n;++i) p[i].y=read(); preact(); hpi(); getans(); printf("%.3Lf",ans); return 0; }
