《大学物理实验上》期末笔记（一）不确定度的计算

1|0《大学物理实验上》期末笔记（一）不确定度的计算

1|1什么是不确定度？

​ ★不确定度表示测量值可能变动（不能确定）的范围，也是与测量结果相关的一个参数，用于合理表示由于测量误差的存在而对被测量值的不能肯定的程度。

​ 简单来说，我们测得一组值，分别为\(x_1,x_2,x_3...x_n\)，我们可以通过统计学方法来求出这一组数据的一些相关参数，比如平均值，方差等，他们都能表征这一组数据的一些性质，比如方差可以表示这一组数据的波动程度。而不确定度与平均值，方差类似，表征的是这一组数据不能够确定的范围，比如说我们求得不确定度为\(U_x\)，平均值为\(\bar x\)，那么我们就可以把测量值写做 \(\bar x \pm U_x\)，\(U_x\)就表征的是数据的波动范围。

​ 我们容易想到，不确定度的产生分为两种情况，一个是人为测量产生的误差，一个是仪器本身存在的误差，因此不确定度就分为A类不确定度和B类不确定度。其中，A类不确定度是人为测量产生，B类不确定度近似为仪器本身的误差限值\(\Delta _{ins}\) 。

1|2如何计算不确定度？

1|01、多次直接测量结果的不确定度

​ 假设我们以及测得一组数据\(x_1,x_2,x_3...x_n\)，则计算其不确定度的步骤为：

​ 1、求算数平均值

​

\[\bar x = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i } {n} \]

​ 2、求实验标准差s

​

\[s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2} {n-1}} \]

​ 3、求\(U_A\)

​

\[U_A = s * \frac{t}{\sqrt{n}} \]

​ 其中，t对应分布因子（题目会给出），n对应测量次数

​ 4、求U

\[U = \sqrt{U_A^2 + U_B^2}\\ 其中，U_B = \Delta_{ins} \]

​ 结果表示：\(x = \bar x \pm U\)，注意修约规则（之后会细说）

1|02、间接测量量的不确定度合成

假设间接测量量\(y=f(x_1,x_2,...,x_n)\)，经过测量与计算，我们得到\(x_k = \bar x_k \pm U_{x_k}(k=1,2,...,n)\)，但我们目标是为了求\(U_y\)，因此我们需要一套方法来帮助我们。

我们有：

\[U_y = \sqrt{\sum_{k=1}^{n}(\frac{\partial f}{\partial x_k})^2*U_{x_k}^2} \]

但是这个公式有很多局限性，比如说，它遇上如\(y={x_1}^m * x_2^n\)这种，我们会发现其偏导数那项不好表示，因此我们可以使用其对数形式：

\[U_r = \frac{U_y} {Y}=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(\frac{\partial \ln f}{\partial x_k})^2*U_{x_k}^2} \\ 其中，Y = f(\bar {x_1},\bar{x_2},...,\bar{x_n}) \\ U_y 为间接测量量的合成不确定度 \\ U_r为相对不确定度 \]

1|03、举例

拿真题举例子吧，题目如图：

解答：

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本文作者：Asaka
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