【高等数学笔记】理解多元函数的全微分等概念

【高等数学笔记】理解多元函数的全微分等概念

高数也抽象起来了...

偏导数

​ 我们先从二元函数\(z=f(x,y)\)入手，相对于一元函数，二元函数有两个自变量x,y，所以需要分别对x,y进行分析，就有所谓偏导数。

我们都知道，z对x的偏导数可以写作：

\[\frac{\partial z}{\partial x} =f_{x} (x,y) \]

对y同理。

​ 在一元函数中\(y=f(x)\)中，我们都知道，设\(x=x(t)\)，我们就有\(\frac {dy}{dt}=\frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt}\)，那么这种分解在二元函数中是否成立？我们不妨举个例子试试。设二元函数\(z=xy\)，我们来算算\(\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}\)的值。假设上面的猜想成立，显然我们有\(\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}=1\)。但经过一步步计算，我们发现事实上：

\[\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}=-1····(1) \]

也即一元导函数的这种性质对二元函数不成立（不完全成立）。但是，我们又发现了下面这个式子是成立的：

\[\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}=1····(2) \]

再多举一些例子，(2)式仍然成立。

​ 所以，\(\frac {\partial z}{\partial x}\)就如书上所说，仅仅是个记号，代表着z对x的偏导数。那么（2）式又为什么成立呢？事实上，y对x的偏导数就是将z看作常量后y对x的导数，因此\(\frac {\partial y}{\partial x}\)就变成了\(\frac{dy}{dx}\)，就和一元函数类似了。

偏导数几何意义

​ 如图，\(A(x_0,y_0)\)是曲面\(z=f(x,y)\)上一点，AC//YOZ平面，AB//XOZ平面，CD//Y轴，BE//X轴，且AC、AB为该曲面的切线，则

\[tan\angle ABE=f_x(x_0,y_0),tan\angle ACD=f_y(x_0,y_0) \]

​ 这是显然的。

​ 我们还可以知道，AC与AB都在A对曲面的切面上（用来推导切面方程）。

全微分

一元函数的微分

​ 我们先来看一元函数的微分是什么东西。

如图，\(A(x,y)，C(x+\Delta x,y+\Delta y)\)是绿色曲线\(y=f(x)\)上一点，AD是A对曲线的切线，D在BC上，\(BD=dy\)，\(BC=\Delta y\)。

那么f(x)在\(x\)处的微分为：

\[\Delta y = f^{'}(x)\Delta x + o(\Delta x) \]

这个式子有什么含义呢？我们对两边除以\(\Delta x\)，有：

\[\frac {\Delta y}{\Delta x} = f^{'}(x) + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \]

当\(\Delta x \to 0\)时，由于\(o(\Delta x)\)是\(\Delta x\)的高阶无穷小，故\(\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\)为0，可省略，因此我们有：

\[\lim_{\Delta x \to 0}\frac {\Delta y}{\Delta x} = f^{'}(x) \]

也即

\[dy=f^{'}(x)dx \]

我们从图里可以看到，BD=dy，所以通俗点说，其实可微分就是当\(\Delta x\)趋于0时，BD约等于BC，即可以用BD来代替BC，也即用直线AD可以对曲线段AC进行线性替换，这也就是微分的主要思想。

​ 而我们什么时候可以用BD来代替BC呢？根据定义式，就是当AB无限趋于0的时候，CD长度是AB长度的一个高阶无穷小，也即CD长度在此时为0。化成数学语言就是：

\[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y - f^{'}(x)\Delta x}{\Delta x}=0 \]

其中分子就是CD长度，分母就是AB。

如果上述式子成立，我们就可以判定f(x)在x处可微，其等价条件就是f(x)在x处可导。

曲面上某点的切面方程

设曲面\(z=f(x,y)\)，\(A(x_0,y_0)\)是曲面上一点，则该点对曲面的切面方程为：

\[f_x(x_0,y_0)x+f_y(x_0,y_0)y-[x_0f_x(x_0,y_0)+y_0f_y(x_0,y_0)-f(x_0,y_0)]=z \]

证明就不8写了，只要用空间解析几何知识+偏导数的几何意义即可完成推导。

二元函数的全微分

和一元函数类似，\(A(x_0,y_0,z_0),D(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)\)是蓝色曲面\(z=f(x,y)\)上两点，过A的粉色平面\(z=g(x,y)\)是曲面切面，E是切面上一点，DF垂直于XOY平面，AF//XOY平面，\(EF=dz,DF=\Delta z\)

先由几何关系及勾股定理，我们有：\(AF=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\)。

我们已经知道了A、D两点的坐标，E、F的坐标也就能够求出来了，我们只需要E、F的纵坐标。

\(z_F=z_A=z_0=f(x_0,y_0)\)

写出过A点的切面方程：

\[z=f_x(x_0,y_0)x+f_y(x_0,y_0)y-[x_0f_x(x_0,y_0)+y_0f_y(x_0,y_0)-f(x_0,y_0)]=g(x,y) \]

则\(z_E=g(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\)

几何参数都求出来了，下面就对其进行分析即可。

我们先看书上的定义（选自同济六版）：

可以发现，\(\Delta z\)就是DF，那么EF是什么呢？

\[\begin{aligned} EF&=z_E-z_F\\ &=g(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) \\ &=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y \end{aligned} \]

若令\(A=f_x(x_0,y_0),B=f_y(x_0,y_0)\)，上图的（2）式就是：

\[DF=EF+o(\rho)=EF+o(AF)····(3) \]

根据几何图像与（3）式可得：\(o(AF)=DF-EF=DE\)，也即DE是AF的高阶无穷小量，这就与一元函数的微分扯上关系了，用上面所说的一元函数微分去理解就可以了。

因此，讨论二元函数在点\((x_0,y_0)\)的可微性，就是讨论DE是不是AF的高阶无穷小，用数学语言描述就是：

\[\lim_{\Delta x \to 0 , \Delta y \to 0}\frac{\Delta z-f_x(x_0,y_0)\Delta x-f_y(x_0,y_0)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}等于0就可微，非零就不可微。\\ 其中\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) \]

其中分子就是DE，分母是AF。

全微分，连续性，偏导数存在性，偏导数连续性的关系

先上图

分几种情况对蓝箭头进行说明：

1.函数连续与偏导存在无关：

首先。函数连续无法断定偏导存在：这是显然的，可以类比一元函数。

其次，偏导存在无法断定函数连续：偏导是只对一个变量进行分析，其他变量都当成常量不管，而连续性是对所有变量都有要求，显然没有必要关联。

2.函数连续无法断定函数可微：

显然的，类比一元函数。

3.偏导存在无法断定函数可微：

由书上定理可知，需要偏导数都存在且连续才能推出可微。

4.函数可微无法断定偏导数连续：

不是很懂，就不细说了。

\[ \]