【线性代数复习笔记】矩阵特征值，特征向量，相似对角化与实对称矩阵

1|0【线性代数复习笔记】矩阵特征值，特征向量，相似对角化与实对称矩阵

线代好难-_-

1|1特征值与特征向量：

1|01.求解特征值与特征向量：

先计算特征多项式f(ʎ)=|ʎI-A|，求出根，再根据不同的根解齐次线性方程组。

1|02.一些性质：

1、矩阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关

2、若ʎ为A的特征值，g(A)的特征值为g(ʎ)。其中g为多项式函数

3、幂零矩阵的特征值全为0

1|2相似对角化：

1|01.两个矩阵（A与B）相似的性质：

1、存在可逆矩阵P，满足P⁻¹AP=B

2、A与B有相同的特征多项式，特征值与迹

3、Aⁿ~Bⁿ

*4、B是与A在不同基下等效的线性变换

1|02.什么样的矩阵A可以对角化？

1、A相似于一个对角阵

2、A有n个线性无关的特征向量（充要条件）

3、A有n个互不相同的特征值

4、如果A有重特征值，那么k重特征值需要对应k个线性无关的特征向量

5、如果A为n阶实对称矩阵，那么A只需要有n个特征值

1|03.如何进行对A对角化？

1、求出A的所有特征值ʎ1,ʎ2,...,ʎn

2、对于每一个特征值解齐次线性方程组，得到线性无关的特征向量e1~en

3、设P=(e1,e2,...,en)，则能得到P⁻¹AP=diag(ʎ1,ʎ2,...,ʎn)，其中特征向量与特征值依次对应

1|04.实对称矩阵A(nxn)的性质：

1、A^T=A

2、A有n个实特征值

3、A不同特征值对应的特征向量是正交的

4、A的每一个k重特征值对应的特征空间都是k维的

5、特征空间相互正交（即3）

6、A可以（正交）对角化

7、设P为变换矩阵，则P^T=P-1，也即A与其对角阵既是相似的也是合同的。

注：2~6为对称矩阵的谱定理

1|05.实对称矩阵怎么对角化？

1、计算特征值

2、解出特征向量

3、对某些特征向量进行施密特正交化，然后进行单位化得出变换矩阵P与对角阵，注意特征向量与特征值依次对应

第一次用markdown发，写的不太好- -

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本文作者：Asaka
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