第一阶段 高等数学——函数

1、函数

⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。

⑵、函数相等

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。

⑶、域函数的表示方法

a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x²+y²=r²

b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。

c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：

 

2、函数的简单性态

⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。

注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数

⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x₁及x₂，当x₁＜x₂时，有 ，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x₁及x₂，当x₁＜x₂时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。

⑶、函数的奇偶性

如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。

注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。

⑷、函数的周期性

对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x值都成立，则叫做周期函数，l是的周期。

注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。

 

3、反函数

⑴、反函数的定义：设有函数，若变量y在函数的值域内任取一值y₀时，变量x在函数的定义域内必有一值x₀与之对应，即，那末变量x是变量y的函数.这个函数用来表示，称为函数的反函数.

注：由此定义可知，函数也是函数的反函数。

⑵、反函数的存在定理：若在(a，b)上严格增(减)，其值域为 R，则它的反函数必然在R上确定，且严格增(减).

注：严格增(减)即是单调增(减)

⑶、反函数的性质：在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x对称的。

 

4、复合函数

复合函数的定义：若y是u的函数：，而u又是x的函数：，且的函数值的全部或部分在的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u叫做中间变量。

注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。

 

5、初等函数

⑴、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：

函数名称	函数的记号	函数的图形	函数的性质
指数函数			a):不论x为何值,y总为正数;  b):当x=0时,y=1.
对数函数			a):其图形总位于y轴右侧,并过(1,0)点  b):当a＞1时,在区间(0,1)的值为负；在区间(-,+∞)的值为正；在定义域内单调增.
幂函数	a为任意实数	这里只画出部分函数图形的一部分。	令a=m/n  a):当m为偶数n为奇数时,y是偶函数;  b):当m,n都是奇数时,y是奇函数;  c):当m奇n偶时,y在(-∞,0)无意义.
三角函数	(正弦函数)  这里只写出了正弦函数		a):正弦函数是以2π为周期的周期函数  b):正弦函数是奇函数且
反三角函数	(反正弦函数) 这里只写出了反正弦函数		a):由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在[-π/2,π/2]上,并称其为反正弦函数的主值.

⑵、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.

 

6、双曲函数及反双曲函数

⑴、双曲函数：在应用中我们经常遇到的双曲函数是：(用表格来描述)

函数的名称	函数的表达式	函数的图形	函数的性质
双曲正弦			a)：其定义域为:(-∞,+∞)； b)：是奇函数； c)：在定义域内是单调增
双曲余弦			a)：其定义域为:(-∞,+∞)； b)：是偶函数； c)：其图像过点(0,1)；
双曲正切			a)：其定义域为:(-∞,+∞)； b)：是奇函数； c)：其图形夹在水平直线y=1及y=-1之间；在定域内单调增；

我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别：

双曲函数的性质	三角函数的性质
shx与thx是奇函数，chx是偶函数	sinx与tanx是奇函数，cosx是偶函数
它们都不是周期函数	都是周期函数

双曲函数也有和差公式：

⑵、反双曲函数：双曲函数的反函数称为反双曲函数.

a)：反双曲正弦函数   其定义域为：(-∞,+∞)；

b)：反双曲余弦函数   其定义域为：[1,+∞)；

c)：反双曲正切函数     其定义域为：(-1,+1)；