求组合数的几种方法

引入

在做题时，经常会遇到需要计算从 $n$ 个物品中选择 $m$ 个的方案数的情况。
我们就需要用到计算组合数的公式：$\large{C_m^n} = \dfrac{n!}{(n-m)!m!}$。这篇文章里为了方便，用 $\dbinom{n}{m}$ 代替 $\large{C_m^n}$。

方法

1.乘法逆元

最简单的方法莫过于用组合数公式直接求。

但在 $21!$ 就已经爆 long long，所以通常是会有模数的。
如果有了模数，那么普通的除法肯定是会出大问题，就又要引入逆元。

如果一个线性同余方程 $ax \equiv 1 \pmod b$ ，则 $x$ 称为 $a \bmod b$ 的逆元，记作 $a^{-1}$ 。

定义 $fact_n = n!\bmod p$ ($p$ 为模数)，$infact_n = (n!)^{-1}\bmod p$。那么我们就可以把原始公式转换成 $\dbinom{n}{m}=fact_n \cdot infact_{n-m} \cdot infact_m$。

在这里，求乘法逆元可以用线性递推法 $inv_i = (p-\lfloor\frac{p}{i}\rfloor)inv_{p\bmod i}\bmod p$。

const int mod = ...;
int inv[],fact[],infact[];
void init(){
	fact[1]=infact[1]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=...;i++){
		inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
		fact[i]=fact[i-1]*i%mod;
		infact[i]=infact[i-1]*inv[i]%mod;
	}
}
int C(int n,int m){
	return (ll)fact[n]*infact[n-m]%mod*infact[m]%mod;
}

顺带一提

那么既然 $20!$ 不爆 long long，在 $n,m\le 20$ 的情况下你也可以写暴力。

2.预处理

在 $n$ 和 $m$ 都不是很大的情况下，如 $n,m \le 10^4$，可以直接杨辉三角预处理

const int mod = ...;
int C[][];
void init(){
	C[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=...;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++)
			if(j)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
			else C[i][j]=1;
}
int C(int n,int m){
	return C[n][m];
}

3.Lucas定理

一般用于 $n$,$m$ 很大，$mod$ 比较小的情况。

Lucas定理的证明和公式均在这篇博客中有，可自行跳转阅读，此处不再赘述。

具体求组合数的方法可以根据 $mod$ 的范围自行选择，我这里选择了乘法逆元法。

const int mod = ...;
int inv[],fact[],infact[];
void init(){
	fact[1]=infact[1]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=...;i++){
		inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
		fact[i]=fact[i-1]*i%mod;
		infact[i]=infact[i-1]*inv[i]%mod;
	}
}
int C(int n,int m){
	return (ll)fact[n]*infact[n-m]%mod*infact[m]%mod;
}
int Lucas(int n,int m){
	if(n<mod)return C(n,m);
	return C(n%mod,m%mod) * Lucas(n/mod,m/mod) %mod;
}