Lucas定理

定义

若 $p$ 为质数，且 $1\le b\le a$ 则有：

$$C^b_a\equiv C^{\left\lfloor b/p \right\rfloor}_{\left\lfloor a/p \right\rfloor}\times C^{b\bmod p}_{a\bmod a}\pmod p$$

证明

证明 $(1+x)^p\equiv 1+x^p\pmod p$

设 $x$ 是任意小于 $p$ 的正整数，那么：

$$C^x_p=\dfrac{p!}{x!(p-x)!}=\dfrac{p(p-1)!}{x(x-1)!(p-x)!}=\frac{p}{x}C^{x-1}_{p-1}$$

由于 $x<p$ 且 $p$ 是质数，所以 $x$ 一定存在模 $p$ 意义下的逆元：

$$C^x_p\equiv p\cdot\text{inv}(x)\cdot C^{x-1}_{p-1}\pmod p$$

显然等号右边是 $p$ 的倍数，所以 $C^x_p\equiv 0\pmod p$。

根据二项式定理有：$(1+x)^p=\sum^{p}_{i=0}C^i_p\equiv1+x^p\pmod p$。

证明核心

设：$\begin{cases} \left\lfloor a/p\right\rfloor=q_a\\ \left\lfloor b/p\right\rfloor=q_b\\ \end{cases} ,\begin{cases} a\bmod p=r_a\\ b\bmod p=r_b\\ \end{cases}$，则有$\begin{cases} a=q_ap+r_a\\ b=q_bp+r_b\\ \end{cases}$。

由二项式定理 $(1+x)^a=\sum^a_{k=0}C^k_ax^k$，又有：

$$\begin{aligned} (1+x)^a=(1+x)^{q_a\,p+r_a}&=(1+x)^{q_a\,p}\cdot(1+x)^{r_a}\\ &\equiv (1+x^p)^{q_a}\cdot (1+x)^{r_a}\\ &=\sum^{q_a}_{i=0} C^{i}_{q_a} x^{ip}\ \cdot \ \sum^{r_a}_{j=0} C^j_{r_a} x^j\\ &=\sum^{q_a}_{i=0} \sum^{r_a}_{j=0} C^i_{q_a} C^j_{r_a} x^{ip+j} \pmod p \end{aligned}$$

我们枚举 $k=ip+j$ 得：

$$\begin{aligned} (1+x)^m&\equiv \sum^a_{k=0}C^{\left\lfloor k/p \right\rfloor}_{q_a} C^{k\bmod p}_{r_a} x^k \pmod p\\ \sum^{a}_{k=0}C^k_ax^k &\equiv \sum^a_{k=0}C^{\left\lfloor k/p \right\rfloor}_{q_a} C^{k\bmod p}_{r_a} x^k \pmod p\\ \end{aligned}$$

对比系数，并令 $k=b$，得：

$$\begin{aligned} C^b_ax^b &\equiv C^{\left\lfloor b/p \right\rfloor}_{q_a} C^{b\bmod p}_{r_a} x^b \pmod p\\ C^b_a &\equiv C^{q_b}_{q_a} C^{r_b}_{r_a} x^b \pmod p\\ \end{aligned}$$

得证。

变形

我们把 $a$ 和 $b$ 拆分成 $p$ 进制，$k$ 为位数，$a_i,b_i$ 分别为 $a,b$在二进制下的每一位，则有：

$$C^b_a \equiv \prod_{i=0}^k C^{b_i}_{a_i}\pmod p$$