Lucas定理
定义
若 \(p\) 为质数，且 \(1\le b\le a\) 则有：
\[C^b_a\equiv C^{\left\lfloor b/p \right\rfloor}_{\left\lfloor a/p \right\rfloor}\times C^{b\bmod p}_{a\bmod a}\pmod p
\]
证明
证明 \((1+x)^p\equiv 1+x^p\pmod p\)
设 \(x\) 是任意小于 \(p\) 的正整数，那么：
\[C^x_p=\dfrac{p!}{x!(p-x)!}=\dfrac{p(p-1)!}{x(x-1)!(p-x)!}=\frac{p}{x}C^{x-1}_{p-1}
\]
由于 \(x<p\) 且 \(p\) 是质数，所以 \(x\) 一定存在模 \(p\) 意义下的逆元：
\[C^x_p\equiv p\cdot\text{inv}(x)\cdot C^{x-1}_{p-1}\pmod p
\]
显然等号右边是 \(p\) 的倍数，所以 \(C^x_p\equiv 0\pmod p\)。
根据二项式定理有：\( (1+x)^p=\sum^{p}_{i=0}C^i_p\equiv1+x^p\pmod p \)。
证明核心
设：\( \begin{cases} \left\lfloor a/p\right\rfloor=q_a\\ \left\lfloor b/p\right\rfloor=q_b\\ \end{cases} ,\begin{cases} a\bmod p=r_a\\ b\bmod p=r_b\\ \end{cases} \)，则有\( \begin{cases} a=q_ap+r_a\\ b=q_bp+r_b\\ \end{cases} \)。
由二项式定理 \((1+x)^a=\sum^a_{k=0}C^k_ax^k\)，又有：
\[\begin{aligned}
(1+x)^a=(1+x)^{q_a\,p+r_a}&=(1+x)^{q_a\,p}\cdot(1+x)^{r_a}\\
&\equiv (1+x^p)^{q_a}\cdot (1+x)^{r_a}\\
&=\sum^{q_a}_{i=0} C^{i}_{q_a} x^{ip}\ \cdot \ \sum^{r_a}_{j=0} C^j_{r_a} x^j\\
&=\sum^{q_a}_{i=0} \sum^{r_a}_{j=0} C^i_{q_a} C^j_{r_a} x^{ip+j} \pmod p
\end{aligned}
\]
我们枚举 \(k=ip+j\) 得：
\[\begin{aligned}
(1+x)^m&\equiv \sum^a_{k=0}C^{\left\lfloor k/p \right\rfloor}_{q_a} C^{k\bmod p}_{r_a} x^k \pmod p\\
\sum^{a}_{k=0}C^k_ax^k &\equiv \sum^a_{k=0}C^{\left\lfloor k/p \right\rfloor}_{q_a} C^{k\bmod p}_{r_a} x^k \pmod p\\
\end{aligned}
\]
对比系数，并令 \(k=b\)，得：
\[\begin{aligned}
C^b_ax^b &\equiv C^{\left\lfloor b/p \right\rfloor}_{q_a} C^{b\bmod p}_{r_a} x^b \pmod p\\
C^b_a &\equiv C^{q_b}_{q_a} C^{r_b}_{r_a} x^b \pmod p\\
\end{aligned}
\]
得证。
变形
我们把 \(a\) 和 \(b\) 拆分成 \(p\) 进制，\(k\) 为位数，\(a_i,b_i\) 分别为 \(a,b\)在二进制下的每一位，则有：
\[C^b_a \equiv \prod_{i=0}^k C^{b_i}_{a_i}\pmod p
\]
