堆排序算法

堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。堆排序的平均时间复杂度为Ο(nlogn)。那么什么是堆呢？

堆是数据结构中的一种重要结构，了解“堆”的概念和操作，可以帮助我们快速地掌握堆排序。

堆的概念

堆是一种特殊的完全二叉树（complete binary tree）。如果一棵完全二叉树的所有节点的值都不小于其子节点，称之为大根堆（或大顶堆）；所有节点的值都不大于其子节点，称之为小根堆（或小顶堆）。

在数组（在0号下标存储根节点）中，容易得到下面的式子（这两个式子很重要）：

1.下标为i的节点，父节点坐标为(i-1)/2；

2.下标为i的节点，左子节点坐标为2*i+1，右子节点为2*i+2。

堆的建立和维护

堆可以支持多种操作，但现在我们关心的只有两个问题：

1.给定一个无序数组，如何建立为堆？

2.删除堆顶元素后，如何调整数组成为新堆？

先看第二个问题。假定我们已经有一个现成的大根堆。现在我们删除了根元素，但并没有移动别的元素。想想发生了什么：根元素空了，但其它元素还保持着堆的性质。我们可以把最后一个元素（代号A）移动到根元素的位置。如果不是特殊情况，则堆的性质被破坏。但这仅仅是由于A小于其某个子元素。于是，我们可以把A和这个子元素调换位置。如果A大于其所有子元素，则堆调整好了；否则，重复上述过程，A元素在树形结构中不断“下沉”，直到合适的位置，数组重新恢复堆的性质。上述过程一般称为“筛选”，方向显然是自上而下。

删除一个元素是如此，插入一个新元素也是如此。不同的是，我们把新元素放在末尾，然后和其父节点做比较，即自下而上筛选。

那么，第一个问题怎么解决呢？

我看过的数据结构的书很多都是从第一个非叶子结点向下筛选，直到根元素筛选完毕。这个方法叫“筛选法”，需要循环筛选n/2个元素。

但我们还可以借鉴“无中生有”的思路。我们可以视第一个元素为一个堆，然后不断向其中添加新元素。这个方法叫做“插入法”，需要循环插入(n-1)个元素。

由于筛选法和插入法的方式不同，所以，相同的数据，它们建立的堆一般不同。

大致了解堆之后，堆排序就是水到渠成的事情了。

算法概述/思路

我们需要一个升序的序列，怎么办呢？我们可以建立一个最小堆，然后每次输出根元素。但是，这个方法需要额外的空间（否则将造成大量的元素移动，其复杂度会飙升到O(n^2)）。如果我们需要就地排序（即不允许有O(n)空间复杂度），怎么办？
有办法。我们可以建立最大堆，然后我们倒着输出，在最后一个位置输出最大值，次末位置输出次大值……由于每次输出的最大元素会腾出第一个空间，因此，我们恰好可以放置这样的元素而不需要额外空间。很漂亮的想法，是不是？

算法步骤：

1. 创建一个堆 H[0..n-1]

2. 把堆首（最大值）和堆尾互换

3. 把堆的尺寸缩小 1，并调用 shift_down(0), 目的是把新的数组顶端数据调整到相应位置

4. 重复步骤 2，直到堆的尺寸为 1

Java实现：

public class HeapSort 
{
    public static void main(String[] args) 
    {
        int[] arr = { 50, 10, 90, 30, 70, 40, 80, 60, 20 };
        System.out.println("排序之前："); 
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) 
            System.out.print(arr[i] + " "); 
        
        // 堆排序
        heapSort(arr); 
        System.out.println(); 
        System.out.println("排序之后："); 
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) 
            System.out.print(arr[i] + " ");
    }
    
    /** 
   * 堆排序 
   */
    private static void heapSort(int[] arr) 
    {
        // 将待排序的序列构建成一个大顶堆 
        for (int i = arr.length / 2; i >= 0; i--)
            heapAdjust(arr, i, arr.length);
        
        // 逐步将每个最大值的根节点与末尾元素交换，并且再调整二叉树，使其成为大顶堆 
        for (int i = arr.length - 1; i > 0; i--)
        {
            swap(arr, 0, i); // 将堆顶记录和当前未经排序子序列的最后一个记录交换 
            heapAdjust(arr, 0, i); // 交换之后，需要重新检查堆是否符合大顶堆，不符合则要调整
        }
    }
    /** 
   * 构建堆的过程 
   * @param arr 需要排序的数组 
   * @param i 需要构建堆的根节点的序号 
   * @param n 数组的长度 
   */
    private static void heapAdjust(int[] arr, int i, int n) 
    {
        int child;
        int father;
        for (father = arr[i]; leftChild(i) < n; i = child)
        {
            child = leftChild(i);
            // 如果左子树小于右子树，则需要比较右子树和父节点 
            if (child != n - 1 && arr[child] < arr[child + 1])
                child++; // 序号增1，指向右子树
            // 如果父节点小于孩子结点，则需要交换 
            if (father < arr[child]) 
                arr[i] = arr[child];
            else
                break; // 大顶堆结构未被破坏，不需要调整
        }
        arr[i] = father;
    }
    
    // 获取到左孩子结点 
    private static int leftChild(int i) 
    {
        return 2 * i + 1;
    }
    
    // 交换元素位置 
    private static void swap(int[] arr, int index1, int index2) 
    {
        int tmp = arr[index1];
        arr[index1] = arr[index2];
        arr[index2] = tmp;
    }
}

 

作者：耑新新，发布于  博客园

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