【数学】- 序理论

序理论

感谢Meatherm在之前的讲课，才让我有机会思考这一理论

简介

序理论对二元关系的研究在图论、数学、动规等OI常见板块中都有应用，可以说，这些关于次序的思考及它们所拥有的性质都是美妙的。这种「次序」，在元素与元素之间连结了隐形的线，于是编织起了严密的网，于是织构出由此推出的万千理论。
序理论在OI中常见于各维偏序问题、Dilworth定理应用。

概念

下面以并不严谨的角度解释一些概念

二元关系

不论全序还是偏序，都注重「序」。那么简单的，我们可以试图表示出它们的 关系（真实的关系可以是复杂的，但研究 $\le、<$ 会便于理解，所以下文可能以 $\le、<$ 举例偏多），以体现序。

首先，我们先明确需要确定序的关系的对象，譬如我们拿出一个集合 $P$ 中的对象 $x、y、z$。

还是先探讨在集合 $P$ 上的关系 $R$，对于关系 $R$ 的一些优美的性质被定义如下：

• 若 $x\,R\,x$，则称 $R$ 是 自反 的（如 $\le$）。
• 若 $x\,R\,x$ 不成立时，则称 $R$ 是 反自反 的（如 $<$）。
• 若 $x\,R\,y\to y\,R\,x$，则称 $R$ 是 对称 的（如 $\not=、\equiv$）。
• 若 $x\,R\,y$ 且 $y\,R\,x$ 要成立，那么必须满足 $x=y$，则称 $R$ 是 反对称 的（如 $\le$）。也表述为不存在 $x、y$ 同时满足 $x\not= y\and xRy\and yRx$，因为要某些关系 $R$（如 $<$）满足 $x<y$ 且 $y<x$ 本身就不可能；
• 若 $x\,R\,y、y\,R\,z\to x\,R\,z$，则称 $R$ 是 传递 的（如 $\le$）。

注意：套用定义发现，一些关系既是对称也是反对称的（如 $=$）。

偏序关系、全序关系

非严格 偏序关系即为满足自反、反对称和传递性的关系。严格 偏序则满足反自反、反对称和传递性。而满足偏序关系的集合称 偏序集合。由一个集合 $P$ 及其上定义的偏序关系 $R$ 组成的偏序集 $(P,R)$ 按严格与否记作 $(P,\prec)$ 或 $(P,\preceq)$。

当然，$x$ 和 $y$ 可能满足不了二元关系 $R$（比如 $R$ 为整除关系 $|$ 时，我们可以有 $2|4$，但 $2、3$ 既没有 $2|3$，也没有 $3|2$）。所以我们称只有 $x\,R\,y$ 或 $y\,R\,x$ 时两个元素才 可比。所以我们在讨论元素间的（严格）小于关系时一定基于元素间可比。

对于 $x\prec y$ 且不存在满足 $x\prec z\prec y$ 的 $z$ 时，我们又可以说 $y$ 覆盖 了 $x$。

当任意两个集合元素都满足 $x\,R\,y$ 或 $y\,R\,x$ 时，称关系 $R$ 满足 全序 性，这样的集合是 全序集合。

偏序集

我们现在转而探讨一个 偏序集 $(X,R)$ 中的对象 $x、y$。

• 若不存在 $y$ 满足 $y\,R\,x$，则称 $x$ 是其 极小元（如 $(R,>)$ 中，$\infin$ 就是极小元）。
• 最小元：任意 $y$ 都有 $x\,R\,y$，则称 $x$ 是其最小元。
• 若不存在 $y$ 满足 $x\,R\,y$，则称 $x$ 是其 极大元（如 $(R,<)$ 中，$\infin$ 就是极大元）。
• 最大元：任意 $y$ 都有 $y\,R\,x$，则称 $x$ 是其最大元。

注意：极大元和极小元可能不止一个，因为当其他元素与其不可比时也满足定义，最大元和最小元则可能不存在，存在则一定唯一，并且与其他任意元素可比。

• 若集合 $X^{′}⊆X$ 满足 $X'$ 中任意两个元素均可比，则称 $X^′$ 是 $(X, R)$ 上的链。（没错，全序集合也称链）
• 若集合 $X^′⊆X$ 满足 $X^′$ 中任意两个元素均不可比，则称 $X^′$ 是 $(X, R)$ 上的反链。

注意：部分可比部分不可比的什么都不是。只有一个元素的集合既是链又是反链。

• 若集合 $X$ 上的链构成的集合 $S = {S_1, S_2, · · · , S_k}$ 满足 $∀x∈X, ∃1≤i≤k$ 使得 $x ∈ S_i$，则称 $S$ 是 $(X, R)$ 上的 链覆盖。（把每个元素都至少归入了一个链）
• 若 $S_i,S_j$ 两两不交，则称 $S$ 是 $(X, R)$ 上的 链划分。称 $|S|$ 是链覆盖/划分的大小。（把每个元素仅划入一个链）。自然地，最小链覆盖大小等于最小链划分大小。

其实这样的命名可以很自然地移植在DAG里，“链”这样的定义惊人地契合，而最小最大元则如同超级源汇点。我初学时有这样一种yy：譬如在DAG中，我们以节点表示元素，有向边 $(u,v)$ 表示偏序关系 $u\preceq v$ ，或者说，满足 $u\,R\,v$ 的话，DAG就描述了一个偏序集合（省去自环），并能很好地反映关键信息。以 $R$ 表示整除关系（是的，整除是一种经典的偏序关系）为例：

我们可以直观地得到没有入度的点 $2、3$ 就是极小元，而没有出度的点 $12、64$ 则是极大元。如果添加 $1、198$，那么就有了最大元 $198$ 和最小元 $1$。任意一条链就是“链”，构成一个全序集合，如 $\{2,6,12\}$。同时，绿链和橙链构成了最小链覆盖。任意两两没有连边的元素集合就能构成一条反链，如 $\{6, 4\}$。蓝线则是传递性作用下的“前向边”（直连 $k$ 级孩子）。

而实际上，确实有与之相近的一种表示方法，称 哈斯图。

在哈斯图中，我们引入“引力”，默认偏序关系中“小”的在下，“大”的在上，只有满足 $y$ 覆盖 $x$ 时（即省去蓝边）才在 $y$ 与 $x$ 之间连 无向边（因为偏序关系反对称，一定单向，所以这时所有箭头都朝上了，可以忽略不画。）。

继续套用整除关系的上例，我们得到如下哈斯图：

而在哈斯图中，我们可以更简单地找到一条反链：横向的没有关联的一条线。

再来看链和反链几个显然的关系：

• 对于任意反链 $A$ 和链 $C$，$|A∩C|≤1$，即任意链仅包含某个反链中的最多一个 元素，任意反链仅包含某个链中的最多一个元素；
• 向偏序集中加入一个元素，或从偏序集中删除一个元素，最大链、最小链划分、最大反链和最小反链划分的大小至多变化 $1$。

于是就有了：

如果 $(X, R)$ 上存在一个大小为 $r$ 的链，因为其反链划分中每一条反链最多包含这条链中的一个元素，所以其反链覆盖大小不小于 $r$。对于大小为 $r$ 的反链，我们能够得到类似的对偶结论：

偏序集最小反链划分大小不小于偏序集最大链大小，偏序集最小链划分大小不小于偏序集最大反链大小。

实现

一般我们只会涉及二维偏序或三维偏序问题。主要的思路就是通过手段降维，于是常见有以下标签：“树状数组、排序、cdq分治、树套树”。树套树可以做三维偏序，不过这里不涉及高级数据结构。

二维偏序

统计受两个条件限制 $(如a_i<a_j,b_i<b_j)$ 的点对 $(i,j)$ 时，常使用 排序+树状数组。通过按 $a$ 的一维限制排序，将限制变成了简单的时间限制。于是问题转化为统计 $j$ 之前所有满足 $b$ 的一维限制条件的 $i$。这是树状数组板题，每次枚举 $j$ 时询问 $b_i<b_j$ 的个数后加入 $b_j$ 的贡献即可。

三维偏序

统计受三个条件限制 $(如a_i<a_j,b_i<b_j,c_i<c_j)$ 的点对 $(i,j)$ 时，常使用 cdq分治。仍按 $a$ 的一维限制排序，在新序列上分治处理二维偏序。其归并过程：递归处理序列左右两部分区间，再设法统计跨区间的点对间贡献。

具体地，先向左区间 $[l,mid]$ 递归，处理完再递归右区间 $[mid+1,r]$。对于递归完成待合并的两区间，考虑统计左区间元素对右区间的贡献：对于左区间元素 $i$ 和右区间元素 $j$，自然满足 $a_i<a_j$。于是同二维偏序问题一样考虑将左右区间分别按 $b$ 的一维限制排序，使用双指针将 $j$ 向 $r$ 推，$i$ 向 $mid$ 推，过程中使用树状数组不断加入 $c_i$ 并询问 $c_j$ 就能维护 $c$ 维度了。注意每次做完一个左区间贡献后需将树状数组清空。

sort(e+1, e+m+1, cmpa);
unique -> ue
void work(int l, int r) {
	if (l == r) return;
	int mid = l + r >> 1;
	work(l, mid);
	sort(ue+l, ue+mid+1, cmpb);
	sort(ue+mid+1, ue+r+1, cmpb);
	int i = l, j = mid + 1;
	while (j <= r) {
		while (i <= mid && ue[i].b <= ue[j].b)
			add(ue[i].c, ue[i].cnt), i ++;
		ue[j].ans += ask(ue[j].c); j ++;
	}
	for (int k = l; k < i; k ++)
		add(ue[k].c, -ue[k].cnt);
    sort(ue+mid+1, ue+r+1, cmpa);
    work(mid+1, r);
}

Dilworth定理

说实话，这篇文章前面那么多就是为着这个定理铺垫的，OI中似乎只用得到这么多（逃。

定义

• 偏序集的最小链划分大小等于其最大反链大小。（Dilworth 定理）
• 偏序集的最小反链划分大小等于其最大链大小。（Dilworth 定理的对偶情形）

证明

首先考虑其对偶情形。我们找到偏序集中的极小元，不难发现这些极小元构成了一个反链。删去这些极小元，偏序集中的最大链大小恰好减少 $1$。因此，重复 $k$ 次我们就得到了一个等于偏序集最大链大小的最小反链划分。

对于Dilworth定理，考虑对其施以归纳法，证明 $|X| = n$ 时的偏序集满足条件。

$n=1$ 的情形是显然的。如果 $|X|=n−1$ 的情形成立，不妨考虑取走 $(X, R)$ 中的某个最小元 $c$，则 $(X\setminus c, R)$ 的最小链划分大小等于其最大反链大小。不妨设其大小为 $k$，现在的最小链划分为 $S=\{S_1, S_2, · · · , S_k\}$，且存在 $m$ 条最大反链 $T_1, T_2, · · · , T_m$，每一个 $T_i$ 大小都为 $k$。

我们发现，$T_i$ 是在每一个 $S_j$ 中恰好取一个元素而构成的。设 $A_i$ 表示，$S_i$ 中被某个 $T_j$ 取走过的最大元素。因为链上元素两两可比，于是总是存在一个最大元素。

进一步的观察可以得知，$\{A_1, A_2, · · · , A_k\}$ 是一个反链。考虑反证法：如果存在 $i= ̸j$ 使得 $A_iRA_j$，那么考虑在链 $S_j$ 取走了 $A_j$ 的反链 $T_x$，一定会在链 $S_i$ 中取走某个元素 $e$ 使得 $eRA_i$，因为 $A_i$ 是被取走过的最大元素。那么有 $eRA_j$，$T_x$ 作为反链要求所含元素两两不可比，却出现了 $e\in T_x,A_j\in T_x,eRA_iRA_j$ 和反链的定义矛盾。

现在考虑将这个最小元 $c$ 放回到偏序集中。分为两种情况：

• 若 $c$ 与任意 $A_i$ 不可比，则 $\{A_1, A_2, · · · , A_k, c\}$ 是一个大小为 $n+1$ 的反链。因此，$(X, R)$ 的最小链划分大小 $≥ k+1$。向 $(X\setminus c,R)$ 中加入 $c$ 得到 $(X, R)$ 的过程中，最小链划分和最大反链大小不会增加超过 $1$，也即不会大于 $k+1$，因此二者都等于 $k+1$。
• 若 $c$ 和某个 $A_i$ 可比，则偏序集的最小链划分大小不变，为 $k$。因为偏序集的最小链划分大小不小于最大反链大小，同时最大反链大小不会减小，因此最大反链大小亦等于 $k$。

综上，我们完成了 Dilworth 定理的证明。

应用

老生常谈的，用于优化 1999年NOIP普及组 导弹拦截 的第二问：求正整数序列 $a$ 的最小不上升子序列划分大小。

第二问可以通过求 最长上升子序列长度 解决。这里只以偏序集的角度证明一遍：一个最长不上升子序列其实就是数组下标集合中满足严格偏序关系 $R$ ：$x<y,a_x\ge a_y$ 的元素组成的一条链。在此偏序 $R$ 下，一条反链集合中的元素就必然不可比，即 $x<y$ 时必须有 $a_x<a_y$。所以最大反链大小就是最长上升子序列长度，通过贪心+二分做到与第一问一样的 $O(n\log n)$。当然，对于两问，用树状数组处理二维偏序问题也是可行的。

推广来说，我们通常可以构造出关系 $R'$ 满足在 $R$ 关系上是反链的集合在 $R'$ 关系上就是链，这样求 $R$ 上的最小链划分可以方便地转化为求 $R'$ 关系上的最大链大小。