笔记—机器学习中的数学基础(1)

几个重要数学读法

 （C是一个实数）

x趋于C时（经常的情况是"趋于无穷大时"），f(x)的极限是L。

the limit of f of x, as x approaches c, is L

※ f(x) can be made to be as close to L as desired by making x sufficiently close to c.

f'(x) 或：f一撇x，f(x) 的导（函）数，函数f(x)的一阶导数（first derivative）。我们经常求某一函数的导函数在某一点的值。

※ 导数所表示的是一个极限值，而不是两个数量 dy、dx 的商。

f''(x)：f两撇x，f'(x) 的导（函）数，f(x)的二阶导数（second derivative）

※ 二阶导数是斜率变化快慢的反应，表征曲线的凸凹性。

，读作：x的m次方的微分=m乘以x的m减1次方乘以dx。（dx中的意思是infinitesimal  [ɪnfɪnɪˈtesɪm(ə)l] adj. 极小的）

若z=f(x，y)，那么读作"函数z对x的偏微分（the partial derivative of z with respect to x）"，或读作"偏捱副 偏捱克斯"； 因为这个符号是法国人发明的，一开始是叫round。

函数f(x)的不定积分

the indefinite integral of f(x)

函数f(x)在a,b的闭区间（即，[a, b]）内的定积分

the definite integral of the function of x from a to b

 

n元函数

一元函数（function of one variable）的图像y=f(x)在二维坐标里是曲线；

二元函数（function of two variables）的图像z=f(x,y)在三维坐标里是曲面；

三元函数（function of three variables）的图像w=f(x,y,z)在四维坐标里是立体；

只不过因为现实空间是三维的,所以需要一点想像力来想像四维坐标,及坐标里的立体。

 

极限

limit

Thus for the limit of a function to exist as the independent variable approaches c , the left-hand and right-hand limits must be equal.

   

if and only if

※ 如果函数f(x)在自变量x的变化过程中存在极限，即常数A，那么我们可以说f(x)收敛到A，简称f(x)收敛（convergence）；否则，称f(x)发散（divergence）。

 

 

 

导数

Derivative

The instantaneous rate of change of a function with respect to its variable.

函数随其变量的即时变化率

Derivative is the slope of the tangent line to a function graph, e.g. a curve, at a certain point. Also called differential coefficient ,fluxion 

微商/倒数函数图像（如曲线）某一点切线的斜率。

 

严格定义:

如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，记为f'(x).

 

 

 

 

 

微分

differentiation

The process of computing a derivative is called differentiation 微分：计算导数的过程

 

 

 

导数与微分的计算

设 u = u(x)，v = v(x)为可导函数，c 是常数，则有：

 

 

 

 

偏导数/偏微商

partial derivative

The derivative with respect to a single variable of a function of two or more variables, regarding other variables as constants.

偏导数/偏微商：多变量函数对其中一个变量的微商，其余变量视作常数.

 

 

二元函数偏导数的几何意义

过M₀点作平面y=y₀ / 过M₀点作平面x=x₀: